重难点02有关实数与数轴的应用题（3种题型）（原卷版）

重难点02有关实数与数轴的应用题（3种题型）【考点剖析】一．数轴（共9小题）1．（2022秋•东阳市月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的2022所对应的点与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D2．（2022秋•义乌市校级月考）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．若点D是AB的中点，O为原点，数轴上有一动点P，|PD|、|PO|分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则|PD|﹣|PO|的最小值是．3．（2021秋•慈溪市期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝，AC＝，BC＝．（用含t的代数式表示）（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．4．（2022秋•吴兴区期中）【新知理解】点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点“伴侣线段．例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”．（1）若点C为图1中线段AB的“优点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝；（2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则ACBD（填“＝”或“≠”）【解决问题】如图2，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F；（3）若不同的两点M，N都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；（4）如图2，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）．5．（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示—1的点重合．（1）圆的周长为多少？（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？6．（2022秋•义乌市月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（一）数轴上表示数﹣8的点和表示数3的点之间的距离是．（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|最小值是．7．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，①若点C表示的数是3，求线段MN的长．②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数．8．（2021秋•东阳市期末）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为；（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是．9．（2021秋•武昌区期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．二．实数与数轴（共12小题）10．（2022秋•慈溪市期中）数轴上有A，B，C三个点，点A表示的数是，点B表示的数是1，点A到点B的距离与点C到点B的距离相等，那么点C表示的数是（）A． B． C． D．11．（2022秋•杭州期中）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是，B表示的数是．12．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，（1）求m的值．（2）求|m﹣3|+m+2的值．13．（2022秋•越城区期中）如图，在数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．﹣214．（2021秋•吴兴区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（）A．3.2 B． C． D．15．（2022秋•义乌市校级月考）若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB＝|a﹣b|．利用数轴回答下列问题：（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是；数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为．②若x表示一个有理数，且﹣2＜x＜2，则|x﹣2|+|x+2|＝．③当|x﹣1|+|x+2|＝10﹣|y﹣3|﹣|y+4|时，求xy的最大值和最小值．（2）实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，当x为何值时，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|的值最小，并求最小值．16．（2022秋•拱墅区月考）【方法感悟】阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4，则|AB|＝|4﹣1|＝3或|AB|＝|1﹣4|＝3；若点A，B表示的数分别是﹣1，4，则|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝4+1＝5或|AB|＝|﹣1﹣4|＝|﹣5|＝5；若点A，B表示的数分别是﹣1，﹣4，则|AB|＝|（﹣1）﹣（﹣4）|＝|﹣1+4|＝3或|AB|＝|﹣4﹣（﹣1）|＝|﹣4+1|＝3．【归纳】若点A，B表示的数分别是x1，x2则|AB|＝|x1﹣x2|或|AB|＝|x2﹣x1|．【知识迁移】（1）如图1，点A，B表示的数分别是﹣4.5，b，且|AB|＝3，则b＝；（2）如图2，点A，B表示的数分别是x1，x2，若把AB向左平移|AB|个单位，则点A与﹣50重合：若把AB向右平移|AB|个单位，则点B与70重合，那么x1＝，x2＝；【拓展应用】（3）一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路．（4）结合几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|最小值．17．（2021秋•拱墅区校级期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（2）把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为．（3）在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．18．（2022秋•海曙区期中）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为1；绕D点翻转第2次；继续翻转，则翻转2022次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是．19．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示的点重合；（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示5的点与表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是；点B表示的数是．③表示点与表示的点重合；（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？20．（2021秋•诸暨市期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧．（1）若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值．（2）请利用整体思想和方程思想进行解题．①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的一元一次方程（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝．②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）的值为多少？（3）在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？21．（2022秋•鄞州区期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2差的绝对值，实际上也可以理解为3与﹣2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上﹣2和5这两点之间的距离为．（2）若x表示一个实数，|x+2|+|x﹣4|的最小值为．（3）直接写出所有符合条件的x，使得|x﹣2|+|x+5|＝9，则x的值为．三．实数与数轴复杂应用题（共7小题）22．（2022秋•宁波期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【知识应用】如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒t＞0，根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：①A，C两点之间的距离AC＝，线段BC的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为．（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，．【拓展提升】（3）在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为﹣4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK＝3．23．（2022秋•莲都区期中）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0．（1）直接写出a、b的值；（2）P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，何时P，A，B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间t；（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左运动．当PQ＝10时，求P运动的时间．24．（2021秋•平阳县期中）如图1，数轴上有A，B两点（点A在点B的左侧），点A表示的数是﹣x，点B表示的数是3x﹣4，点P，Q是数轴A，B之间的动点，且点P以每秒4个单位的速度运动，点Q以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当数轴沿原点折叠时，点A与点B重合，则点A表示的数为．（2）若x＝22时，点P，Q分别从点A，B同时出发，相向而行，点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，当t为何值时，A，B两点之间的距离是P，Q两点之间距离的6倍．（3）若点P，Q同时从点A出发，在线段AB上各自做不间断的往返运动（即只要动点与线段AB的某一端点重合则立即转身以同样的速度向另一点运动）．①如图2，点P与点Q第一次重合于点C，第二次重合于点D，且点C与点D之间的距离为40，求线段AB的长；②在①的基础上，当t＝2021时，点P，Q两点之间的距离是点A，P两点之间的距离的倍．（请直接写出答案）25．（2022秋•富阳区期中）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：（1）A与B之间距离为，A，B中点对应的数为，B点向左平移7个单位对应的数为．（2）若点C对应的数为﹣3，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．（3）若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动：①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？26．（2022秋•萧山区期中）如图，已知数轴上三点A、B、C分别对应的数为a、b、c．（1）点A、点B在数轴上所表示的数互为相反数，且A、B两点之间距离为4．①若A、C两点之间距离为2，且点C在点A的左侧，则点C所表示的数为