第11讲 弧长及扇形的面积（原卷版）

第11讲弧长及扇形的面积【知识梳理】一．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【考点剖析】一．弧长的计算（共10小题）1．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．2．（2023•拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为（）A． B．π C．2π D．3π3．（2022秋•越城区校级期末）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了．4．（2022秋•南浔区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，∠A＝60°，半径OD⊥BC，垂足为点E．（1）求∠BOD的度数；（2）若AB＝8，求的长．5．（2023•鹿城区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧BC上一点，，连接CD．若∠ABC＝15°，则∠DCO的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．50°6．（2022秋•宁波期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为（）A． B． C． D．7．（2022秋•越城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．8．（2023•金华模拟）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（）A．甲车从G口出，乙车从F口出 B．立交桥总长为252m C．从F口出比从G口出多行驶72m D．乙车在立交桥上共行驶16s9．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．10．（2023•浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的长；（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．二．扇形面积的计算（共12小题）11．（2023•浙江模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14π B．7π C． D．2π12．（2023•鹿城区校级二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则该扇形的面积为cm2．13．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（）A． B． C． D．14．（2022秋•宁波期末）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的长和扇形EOD的面积．15．（2023•南湖区二模）如图，将半径为的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，则重叠部分（阴影部分）的面积为（）A． B．cm2 C．πcm2 D．16．（2023•杭州二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．17．（2023•桐庐县一模）如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且AB＝2，则下列说法正确的是（）A．圆心O到AB的距离为 B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为2 C．取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π D．以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为18．（2023•义乌市校级模拟）如图是小李上学用的自行车，型号是24英寸（车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安装时向车轮外延伸2.52厘米，那么预计需要的铁皮面积约是（）A．1141平方厘米 B．2281平方厘米 C．3752平方厘米 D．4000平方厘米19．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．（1）求证：OE＝DE；（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．20．（2022秋•嘉兴期末）已知：如图，弦AB，CD相交于⊙O内一点P的直径，．（1）求证：AB＝CD．（2）连接OP，求证：线段OP平分∠BPD．（3）若CP：DP＝1：3，OP＝，AP＝，求阴影部分面积．21．（2022秋•慈溪市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．（1）求证：点D为线段BC的中点．（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半径及阴影部分的面积．22．（2022秋•滨江区期末）如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F．连接AC，BO．（1）求证：∠CAE＝∠ADC．（2）若DE＝2OE，求的值．（3）如图2，若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，若⊙O的半径为r．求图中阴影部分的面积（结果用含r的代数式表示）．

【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．324．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（）

A． B． C． D．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（）A． B．2π C． D．7．（2021·浙江衢州·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（

）A． B．2 C． D．18．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（

）A．米 B．米 C．米 D．米9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为________．12．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）若扇形的圆心角为，半径为，则它的面积为______．13．（2023·浙江宁波·统考一模）年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为________米．（结果保留）14．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．

15．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

16．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为__________．

17．（2023·浙江·一模）如图，将半径为2的扇形绕点B逆时针旋转一定角度得到扇形，使点O恰好在上，则阴影部分的面积是___________．

18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．

三、解答题19．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；(2)若，求图中阴影部分的面积．20．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长（结果保留）．21．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，．

(1)求的长；(2)求证：平分的外角．22．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．

(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．23．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是___________，结论是___________（