2025届福建省海滨学校、港尾中学高考适应性考试数学试卷含解析

2025届福建省海滨学校、港尾中学高考适应性考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．使得的展开式中含有常数项的最小的n为()A． B． C． D．2．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A． B． C． D．43．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（）A． B．2 C． D．4．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为()A．1 B．－1 C．8l D．－815．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A． B． C． D．6．已知实数x，y满足，则的最小值等于（）A． B． C． D．7．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙8．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（）A．2 B．2 C．4 D．69．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（）A． B． C． D．10．已知全集，集合，则=（）A． B．C． D．11．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（）A．6 B．7 C．8 D．912．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（）A． B． C．2或 D．2或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________.14．设集合，，则____________.15．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于__________.16．已知，则展开式的系数为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，（1）求的单调区间；（2）设恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.19．（12分）如图，已知椭圆C:x24+y2=1，F为其右焦点，直线l:y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1(I)试用x1表示|PF|(II)证明：原点O到直线l的距离为定值.20．（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.21．（12分）[选修45：不等式选讲]已知都是正实数，且，求证:．22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用．2、D【解析】

如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3、C【解析】

把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵，∴，∵为纯虚数，∴，解得．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．4、B【解析】

根据二项式系数的性质，可求得，再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得，令，故可得，又因为，令，则，解得令，则.故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.5、A【解析】

执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，输出计算结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6、D【解析】

设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数，满足，设，，，恒成立，，故则的最小值等于.故选：．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7、A【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．8、C【解析】

根据列方程，由此求得的值，进而求得.【详解】由于，所以，即，解得.所以所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.9、A【解析】

画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.【详解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故选：A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.10、D【解析】

先计算集合，再计算，最后计算．【详解】解：，，．故选：．【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．11、A【解析】

先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值.【详解】解法一：由，所以，由条件可得，对任意的，所以是等差数列，，要使最小，由解得，则.解法二：由赋值法易求得，可知当时，取最小值.故选：A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.12、C【解析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.【详解】作出可行域，如图令，则，显然当直线经过时，最大，且，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.14、【解析】

先解不等式,再求交集的定义求解即可.【详解】由题,因为,解得,即,则,故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.15、【解析】

利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知，，，故.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.16、【解析】

先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为所以的通项公式为当时，当时，故展开式中的系数为故答案为：【点睛】此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】

（1），令，解不等式即可；（2），令得，即，且的最小值为，令，结合即可解决.【详解】（1），当时，，递增，当时，，递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），，，设的根为，即有可得，，当时，，递减，当时，，递增.，所以，①当；②当时，设，递增，，所以.综上，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.18、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】

（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以，①当时，，在上单调递减.②当时，令，则；令，则，所以在单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，可知，，令，得.设，则.当时，，在上单调递增，所以在上的值域是，即.当时，没有实根，且，在上单调递减，，符合题意.当时，，所以有唯一实根，当时，，在上单调递增，，不符合题意.综上，，即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.19、(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.(II)设Ax3,y3，Bx4【详解】(I)椭圆C:x24|FP|=x(II)设Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2⋅故原点O到直线l的距离为d=m【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、（1）见解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.（2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面平面是正方形，所以平面.因为平面，所以.因为点在以为直径的半圆弧上，所以.又，所以平面.（2）解：显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.不妨设，记中点为，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得，所以.由图可知，二面角为锐角，