自适应控制的基本概念

自适应控制与应用课程特点系统科学应用数学

考核方式平时 ％30考试 ％70参考书

K.J.奥斯特隆姆（瑞典）,

《自适应控制》,科学出版社自动控制的基本概念与发展自动控制的基本概念控制

控制是使指定物理量按给定的规律变化（包括保持恒定），以保证生产的安全性、经济性及产品质量等要求的技术手段。 例如：锅炉水位控制系统自动控制

自控控制就是在无人直接参加的情况下，利用控制装置使被控对象（过程）自动地按预定规律变化的控制过程。 例如：导弹飞行控制自动控制的应用工业

数控机床按照预定的程序自动地切削 工件锅炉设备的压力和温度自动保持恒定国防 导弹发射与制导系统，自动地使导弹攻击敌方目标 无人驾驶飞机按照预定航迹自动升降和飞行航天 人造卫星准确地进入预定轨道运行并回收其它 生物、医学、环境、经济系统、社会系统、交通

自动控制理论的发展

控制科学与技术促进了20世纪的人类科技进步，为解决许多挑战性问题提供了科学的思想方法论；为许多产业领域实现自动化奠定了理论基础，提供了先进的生产技术和控制仪器及装备。特别是数字计算机的广泛使用，为它的发展开辟了更广泛的应用领域。它经历了经典控制理论与现代控制理论两个阶段标志性成果1.前期控制(EarlyControl)(1400B.C.-1900)

英国Maxwell发表“论调速器”(OnGovernors)论文(1868)英国Routh建立Routh判据

(1875)俄国Lyapunov博士论文“论运动稳定性的一般问题”(1892)

2.经典控制前期(ThePre-classicalPeriod)(1900-1935)

美国Minorsky研制船舶驾驶伺服结构，提出PID控制(1922)美国MIT的VannevarBush研制成大型模拟计算机

(1928)美国Black提出放大器性能负反馈方法(1927)

3.经典控制(ClassicalControl)(1935-1950)

美国贝尔实验室的Bode和Nyquist(1938，40)提出频率响应法

美国Taylor仪器公司Ziegler和Nichols提出PID参数最佳调整法(1942)

美国MIT的Wiener研究随机过程的预测，提出Wiener滤波理论(1942)，发表《控制论》一书(1948)，标志控制论学科诞生美国的Hazen发表“关于伺服结构理论”

(1934)，并在MIT建立伺服机构实验室(1939)在贝尔实验室Bode领导的火炮控制研究小组工作的

Shannon提出继电器逻辑自动化理论(1938)，随后，发表专著《通信的数字理论》，奠定了信息论的基础(1948)MITRadiationLaboratory在研究SCR-584雷达控制系统的过程中，创立了NicholsChartDesignMethod，Hurwicz

提出数字控制系统(1947)

美国Evans提出根轨迹法(RootLocusMethod)(1948)，以单输入线性系统为对象的经典控制研究工作完成。4.现代控制(ModernControl)(1950-)苏联Pontryagin发表“最优过程数学理论”，提出极大值原理

(1956)美国Bellman在RANDCoporation数学部的支持下，发表著名的DynamicProgramming，建立最优控制的基础(1957)国际自动控制联合会(IFAC)成立(1957)，中国为发起国之一，第一届学术会议于莫斯科召开(1960)

美籍匈牙利人Kalman发表“OntheGeneralTheoryofControlSystems”等论文，引入状态空间法分析系统，提出能控性，能观测性，最佳调节器和kalman

滤波等概念，奠定了现代控制理论的基础(1960)1963年,美国的Lofti

Zadeh与Desoer发表LinearSystems-AStateSpaceApproach。1965年，Zadeh提出模糊集合和模糊控制概念

美国的Jury

发表“数字控制系统”，建立了数字控制及数字信号处理的基础(1958)

瑞典KarlJ.Astrom提出最小二乘辩识建立自适应控制的基础美国Brockett提出用微分几何研究非线性控制系统(1976)，意大利Isidori出版(NonlinearControlSystems)(1985)。加拿大Zames提出H

鲁棒控制设计方法(1981年)

美国Bryson和Y.CHo发表AppliedOptimalControl(1969)。Y.CHo和X.RCao等提出离散事件系统理论(1983) 阶段性成果

20世纪初的Lyapunov稳定性理论和PID控制律概念；

20年代的反馈放大器；美国H.S.Black提出放大器负反馈

30年代的Nyquist与Bode图；

40年代维纳的控制论标志控制学科诞生；提出闭环控制；

50年代贝尔曼动态规划理论和庞特里亚金极大值原理；

60年代卡尔曼滤波器,状态空间法,系统能控性和能观性；

70年代的自校正控制和自适应控制；

80年代针对系统不确定状况的鲁棒控制；

90年代基于智能信息处理的智能控制理论。

中国，埃及和巴比伦出现自动计时漏壶上壶滴水到下面的受水壶，液面使浮箭升起以示刻度－时间

张衡发明水运浑象，自动测量地震的候风地动仪(132年)Watt用离心式调速器控制蒸汽机的速度(1788年)MITRadiationLaboratory研究的SCR-584雷达控制系统第一台数控机床苏联发射“月球”9号探测器，首次在月面软着陆成功(1966)，三年后(1969)，美国“阿波罗”11号把宇航员N.A.Armstrong送上月球。

日本Fanuc公司研制出由加工中心和工业机器人组成的柔性制造单元

航天飞机升空及在太空飞行,由于各种外部的因数,使得飞机偏离既定轨道,必须控制其回到设计的轨道上。（反馈控制）阿波罗宇宙飞船要成功登上月球，必需要求飞船为软着陆，即飞船到达月球表面的向下速度为零，飞船运行过程中燃料消耗最小，飞行时间最短等等（最优控制）

战机追击中，敌机飞行轨迹，我机是无法预知的，我机的飞行控制系统能准确迅速地跟踪敌机将敌机击毁（自适应跟踪控制）。美国F-22隐形战斗机在执行任务时要避开敌方雷达搜索，同时根据地形变化进行控制，具有自学习的功能（智能控制）。研究对象数学工具常用分析方法局限性经典控制理论单输入-单输出线性定常系统微分方程传递函数时域分析法根轨迹分析法频域分析法对复杂多变量系统、时变和非线性系统无能为力现代控制理论多输入-多输出变系数，非线性等系统线性代数矩阵理论状态空间法对对象模型要求严格经典控制理论与现代控制理论的比较第一章自适应控制的基本概念§1.1自适应控制的产生一、控制通过对系统输入操作使得输出达到指定的目标。操作系统输入系统输出目标系统调试控制器被控对象-目标就是控制系统的性能指标。 目标实现方法：经典控制理论采用根轨迹和频域设计方法现代控制理论采用极点配置最优控制理论采用极小值原理和动态规划

二、控制问题的几种情况无扰动，系统模型确定

属于确定性控制可以采用开环控制有扰动，系统模型确定

属于随机控制当扰动不确定采用闭环控制扰动确定可以采用补偿控制可能有扰动，系统模型不确定采用闭环控制？扰动√

系统模型不确定×系统模型系统模型扰动系统模型扰动三、自适应控制问题提出引起系统模型的不确定性因素环境变化引起系统（参数和结构）的变化如飞行高度、速度、大气条件、温度的变化引起飞行器动力学参数的变化温度引起化学反应的变化温度和湿度引起电子器件参数的变化系统自身变化引起系统的变化飞行器质量和重心随着燃料燃烧的变化化学反应中，原料不同引起反应参数的变化自适应控制提出

当不确定因素难以事先预知，又要设计满意的控制系统，由此提出自适应控制思想。 自适应调节器就是期望修正自己的特性以补偿过程和扰动的动力学变化。四、自适应控制思想雏形观测运行指标系统参数再认识系统（不确定）决策修正控制器参数控制器结构控制作用

性能指标最优接近最优五、自适应控制思想与反馈控制的比较反馈控制

对有限有界不确定因素具有较满意的效果。自适应控制

对于较大不确定因素，对某种意义下（非全部）的系统控制品质具有最优或接近最优。§1.2自适应控制的定义一、自适应的一般意义 “自适应”是指生物变更自己的习性以适应新的环境的一种特性。二、学者观点Truxal观点自适应系统：任何按自适应观点设计的物理系统。范畴：超越一般自适应控制思想。Gibson观点辨识对象：提供对象当前状态的连续信息；性能比较：将当前系统性能与期望性能比较，作出系统趋向最优性能的决策；控制器修正：目的是实现性能优化。Landau观点

利用可调节系统的各种输入、状态和输出来度量某个性能指标，并与规定的性能比较，然后由自适应机构修正可调节系统的参数或者产生一个辅助输入信号，以保持系统性能指标趋向规定的指标。三、定义

自适应控制是一类特定的非线性反馈控制，这种过程中的状态分为两种类型：一类状态变化快，另一类状态变化慢。慢变化状态可视为参数。这就提出了两个时间尺度：适用于常规反馈控制的快时间尺度，适合决策修正的慢时间尺度，即某种类型的闭环系统的性能反馈。期望性能指标控制器被控对象修正机构输入信号输出信号系统环境决策机构性能计算（辨识装置）－性能指标闭环常规反馈闭环双环四、自适应控制特征系统的不确定性信息的在线积累过程的有效控制五、自适应控制的载体

具有适应能力的控制器,包含：硬件（上世纪70年代前，自适应发展的早期，难以实现）软件（上世纪70年代后，渐成主流，当前几乎所有自适应系统都用数字计算机实现）六、自适应控制面临的问题结构复杂，常常需要借助计算机实现实现困难成本高§1.3自适应控制的基本原理和类型一、基本原理控制器被控对象修正机构输入信号输出信号系统环境决策机构期望性能指标性能计算（辨识装置）－性能指标闭环常规反馈闭环双环

性能计算(辨识装置)、决策机构和修正机构合在一起统称为自适应机构，它是自适应控制系统的核心，本质上就是一种自适应算法。二、结构形式

可变增益的自适应控制最早在研制飞行控制系统时提出，是设计高性能飞机的飞行控制系统的常用方法。通过能测量到的系统的某些变量，经过计算并按规定的程序来改变调节器的增益结构调节器被控对象变增益机构－运行条件辅助变量开环自适应控制系统（无闭环性能反馈）结构简单，响应迅速和运行可靠等参考模型给出了期望闭环响应特性模型参考自适应控制系统a.线性模型跟随系统已知被控对象的数学模型√未知被控对象的数学模型或变化×

+－被控对象参考模型控制器模型跟随调节器＋－b.模型参考自适应控制系统 用来解决性能规范由参考模型规定的控制问题，参考模型指定了过程输出应怎样响应理想指令信号。

+－被控对象参考模型自适应机构前馈调节器反馈调节器参数调整信号综合－－关键问题 自适应机构的自适应算法，消除广义误差并确保系统稳定性本质 属于确定性的伺服问题。

通过调节调节器参数使受控闭环系统＝参考模型，受控系统闭环回路内存在零极点对消，故只能适用于逆稳定系统自校正控制系统

双环：

内环包括被控对象和普通的反馈调节器，这个调节器的参数由外环调节。

外环由一个参数辨识器和调节器参数设计计算机组成。关键问题：参数辨识。

被控对象参数辨识器前馈调节器反馈调节器调节器参数设计计算机-确定性等价原理：利用估计参数替代真实参数使用，不考虑估计的不定性，称为…本质：随机调节问题。模型参考自适应控制与自校正控制的异同相同：双环不同：内环和外环设计方法不一样。模型参考自适应：

1.控制器参数是直接更新的

2.控制器设计分析常采用连续时间模型自校正控制：

1.调节器参数由参数估计和控制设计计算间接更新的

2.控制器设计分析常采用离散时间模型直接优化目标函数的自适应控制基本思想被控对象目标函数前馈调节器优化计算机-新型自适应控制系统 前述四种方案要求：被控对象的数学模型的结构不变和已知可调控制器的结构也不变和已知只要调整可调控制器的参数值就可达到自适应目的a.

自组织自适应控制系统

具有自动调整控制器结构的功能，通过测量和判断，系统对于不同的外部和内部情况，自动地从规定的不同的控制器结构形式中选出满足设计性能指标的结构形式的控制器并计算出相应的参数，达到自适应控制的目的。b.

自学习自适应控制系统

这种形式可以认为是自适应控制系统的最高形式，它是自组织自适应控制系统的进一步发展。系统利用人工智能的技术去发现、鉴别并补充现有的控制器形式，它可以随时扩充系统的知识库和数据库，具有创新和记忆功能，可选取或创造出一个最好的控制器（结构形式和参数）与当前实际情况相匹配，以达到自适应控制的目的。

§1.4自适应控制的理论问题

自适应控制系统是一种特定的时变非线性系统

一、自适应和整定整定：假设受控过程具有恒定未知的参数自适应：假设受控过程参数变化二、稳定性

李亚普诺夫稳定理论波波夫超稳定性理论

简单地说，线性部分是严格正实函数，非线性部分是无源的，则闭环系统稳定。 （数学上的正实函数的概念等价于物理上的无源网络的概念）三、收敛性

这是确定参数辨识器的工作条件，这个条件要求输入信号充分变化，即持续丰富激励。它直接影响算法。 例如，不能简单利用恒定的信号作为辨识信号。四、鲁棒性

自适应控制系统设计认为被控对象结构已知而参数未知。若被控对象的结构不能完全确知（结构性模型扰动），例如对象特性中常附有未计或难以计及的寄生高频特性。这就提出了自适应控制系统的鲁棒性问题。五、品质分析 包含：自适应的速度，自适应控制过程的优化，自适应控制性能等。§1.5自适应控制的应用一、航空航天

美国麻省理工学院的Whitaker教授首先提出并设计了模型参考自适应控制的方案，并应用于飞行实验。可变增益的自适应控制是高性能飞机的飞行控制的常用方法。二、航海

Amerongen等学者提出采用自适应自动驾驶仪

三、其它领域电力、化工过程、钢铁、冶金、建材工业和机器人等方面。学习自适应控制的几个理由一、对学生而言

在自动控制领域，自适应控制位于很多中心议题的交叉点上，这个领域有许多很好的研究课题。二、对工程师而言

自适应控制涉及非线性补偿、参数调整和自动整定等，掌握了自适应控制技术，就为设计优质控制系统差不多做好了充分的准备。作业

一、查阅一本好的参考书上的“自适应控制”定义。你如何理解自适应控制？

二、你认为什么样的过程最适宜用自适应控制？三、查找一家自适应调节器的使用说明。（选做）第二章模型参考自适应控制系统设计

§2.1引言一、内容回顾

产生概念基本原理常用类型应用领域

自适应控制系统是一种具有一定适应能力的系统。它能辩识由于外界环境或系统本身特征变化所带来的影响，自动修正系统中有关参数或控制作用，使系统达到满意的或接近最优的状态。期望性能指标控制器被控对象修正机构输入信号输出信号系统环境决策机构性能计算（辨识装置）－期望参数参考模型期望性能决策机构修正机构可调参数可调系统性能计算－实际性能期望参数决策机构修正机构可调参数系统（结构）－二、自适应控制基本设计方法局部参数优化设计方法稳定性理论设计方法李雅普诺夫稳定性理论波波夫超稳定性理论模型参考自适应控制设计方法自校正控制设计方法自适应控制设计方法性能优化设计方法§2.2模型参考自适应控制（MRAC

） 系统的数学描述

一、MRAC分析和设计常采用连续时间 模型系统状态方程系统输入-输出方程MRAC数学描述二、结构图参数调整+－被控对象参考模型自适应机构前馈调节器反馈调节器信号综合－－组成

参考模型（）

可调系统（） 自适应机构（）结构特点：（并联）双环 内环：普通反馈控制回路 外环：调节内环调节器参数回路参考模型给出了期望闭环响应特性通过调节调节器参数使可调系统接近参考模型

§2.2.1用状态方程描述模型参考自适应系统

一、结构图参数调整+－被控对象参考模型自适应机构前馈调节器反馈调节器信号综合－－二、参考模型 要求：参考模型必须是稳定的，并且是完全可控和可观测的。三、可调系统

矩阵和的元素是结构确定的未知参数。接入自适应机构，它依赖于广义误差向量。四、广义误差向量

自适应规律的唯一的信息来源系统分析设计的重要依据：误差方程是渐近稳定的。

广义误差的影响因素？参考模型可调系统指令信号如果对于任意指令信号，广义误差都为0，就达到了完全模型跟踪。五、设计任务描述

确定一个具体的自适应规律，依据广义误差向量，按照这一特定的自适应规律来调节参数矩阵和，使得逐渐趋向零值。即

六、等价系统

简记为

七、自适应规律选择原则1.

自适应规律存在的充分条件： 实质：2.选择原则：为了能使调节的作用在广义误差向量逐渐趋向零时仍能维持，自适应规律一般常选为比例加积分的作用。

经典PID控制思想 §2.2.2用输入输出方程描述模型参考自适应系统

一、结构图参数调整+－被控对象参考模型自适应机构前馈调节器反馈调节器信号综合－－－微分算子

当模型参考自适应系统用输入输出方程来描述时，一般用微分算子的形式表示

。

二、参考模型

,

与传递函数形式完全一样－拉氏算子

三、可调系统

，

参数和是未知参数。接入自适应机构，它依赖于广义误差向量。四、广义误差向量

自适应规律的唯一信息来源系统分析设计的重要依据：

广义误差的影响因素？参考模型可调系统指令信号如果对于任意指令信号，广义误差都为0，就达到了完全模型跟踪。五、设计任务描述

确定一个具体的自适应规律，依据广义误差向量，按照这一特定的自适应规律来调节参数和，使得逐渐趋向零值。即

六、自适应规律选择原则

为了能使调节的作用在广义误差向量逐渐趋向零时仍能维持，自适应规律一般常选为比例加积分的作用。

经典PID控制思想§2.2.3模型参考自适应系统设计的 一些假设条件

一、假设约束目的权衡运行性能和复杂程度简化系统的自适应环节（设计）

二、模型参考自适应系统设计假设条件避免求线性或非线性方程的实时解

参考模型是线性时不变系统，而且是完全可控和完全可观的；参考模型和可调系统的维数（结构）是相同的；在参数调整式自适应系统中，可调系统的全部参数都是可以被调节的；在自适应的调整过程中，可调系统的参数仅依赖于自适应机构；参考模型的参数与可调系统的参数之间的初始偏差是未知的；广义误差向量和输出误差向量是可以测得的；参数变化远比系统过渡过程慢。作业

一、查阅资料说明MRAC主要有哪些方法，并简要说明各方法应用特点？

二、结合题一概要说明每一MRAC方法的数学描述是什么。

三、说明MRAC中广义误差的作用？MRAC自适应律主要有哪些？为什么MRAC自适应律设计不采用输出误差？四、请列取说明MRAC设计需要哪些假设条件？其对应的物理意义是什么？§2.3用局部参数最优化理论设计模型参考自适应系统

一、理论基础性能指标：视为可调系统中可调参数的函数本质：利用非线性规划的有关算法来寻找参数空间中最优化参数。即沿性能指标负梯度方向变更参数。它是一种最基本的参数调节方法。§2.3.1具有可调增益的自适应系统的设计

一、结构+-自适应机构二、问题描述

已知

理想模型：

被控系统：（结构） 可调系统： 广义误差： 性能指标：

求

增益：

目标 假设条件

（1）可调参数已处于性能指标最小的邻域 （2）可调参数调节速度较慢，慢于系统动态三、解决问题1.梯度法寻优

对的梯度（灵敏度函数）的步距调整后的（亦称为误差模型）误差模型2.问题落点

求结果

3.问题转化（技巧）

观察比较微分方程转化

慢自适应平均法思想：这里包含了自适应算法的基本假设，系统参数变化比状态变量慢得多。在研究状态的特性时，可把参数视为常量。这种近似方法也称为平均理论，它是应用数学的一种标准方法。

四、问题答案（设计结果） 或

这里外环不能简单采用线性误差反馈，从而间接说明了自适应控制系统为什么是非线性的。

假设， 。 这时 即

稳定前提

五、MIT自适应控制方案图

+-六、存在问题 稳定性问题：MIT方案从理论上无法保证系统的稳定性。七、示例1、考虑一阶系统,

参考模型 那么自适应律

系统稳定性？ 考虑阶跃信号，则

当时 由此可见结论：对一阶系统来说，按MIT规则设计的闭环自适应系统是稳定的。

2、考虑二阶系统,参考模型 ，那么自适应律

系统稳定性？ 考虑阶跃信号，则当时

系统稳定的前提 在此条件下结论：MIT规则比较简单也比较容易实现，但是使用时必须十分注意，以防系统出现不稳定的现象。

作业

一、Page913-1§2.3.2单输入单输出自适应系统设计

一、问题描述 已知

理想模型：

可调系统：（结构） 广义误差： 性能指标： 求

目标 假设

（1）可调参数已处于性能指标最小的邻域 （2）可调参数调节速度较慢，慢于系统动态 （3）

二、解决问题梯度法寻优思想：利用梯度法把和沿着下降的方向移动使其达到极小值。和

的步距调整后的和2.问题落点

3.问题转化（技巧）

观察转化 为输出量对参数和的灵敏度函数

新落点

称为灵敏度滤波器

?…发现规律问题归宿

问题归宿

整理

敏感度模型的近似处理 慢自适应平均法思想：这里包含了自适应算法的基本假设，系统参数变化比状态变量慢得多。在研究状态的特性时，可把参数视为常量。这种近似方法也称为平均理论，它是应用数学的一种标准方法。

三、问题答案（敏感度模型）

…--…

…--…四、MIT自适应控制方案图（课后思考题）

++++++++-----五、存在问题

稳定性问题§2.3用李雅普诺夫稳定性理论设计模型参考自适应系统

§2.3.1李雅普诺夫稳定性概念 及基本定理李雅普诺夫稳定性平衡状态

非线性状态方程：

解： 存在，满足 称之为平衡状态李雅普诺夫意义下的稳定

如果对给定的初始时刻和附近的某个邻域，对应地存在着另一邻域

，并且对所有，只要，就总有，就称平衡点在李雅普诺夫意义下是稳定的。渐近稳定

如果平衡点在李雅普诺夫意义下是稳定的，当时，称平衡点是渐近稳定的。一致渐近稳定

如果是渐近稳定的，且与初始时刻无关。则系统是一致渐近稳定的。

全局渐近稳定

如果对状态空间中任意初始点都是渐近稳定的，则系统是全局渐近稳定的。一致全局渐近稳定

如果是全局渐近稳定的，且与初始时刻无关，则系统是一致全局渐近稳定的。李雅普诺夫稳定性定理

李雅普诺夫函数-广义能量函数 它是一个对时间连续可微的关于系统状态的标量函数，具有下列性质：（1）是正定的，而且是单调非负函数。即，;。（2）具有连续的偏导数。（3）是负半定的。 若是负定的，则为严格的李雅普诺夫函数。李雅普诺夫稳定性定理

如果在包含平衡点在内的某个域内，存在李雅普诺夫函数，且则系统的平衡状态是稳定的。

李雅普诺夫渐近稳定性定理

若上述定义中，则系统的平衡状态是渐近稳定的。§2.3.2基于李氏稳定性具有可调 增益的自适应系统的设计

被控系统为一阶的情况问题描述结构干扰＋－广义误差状态方程解决问题构造李雅普洛夫函数求满足的条件构造满足要求的条件

即问题答案被控系统为二阶的情况问题描述结构干扰＋－广义误差状态方程解决问题构造李雅普洛夫函数求满足的条件构造满足要求的条件

即问题答案一般情况问题描述结构＋－广义误差状态方程

状态方程形式

解决问题构造李雅普洛夫函数求满足的条件构造满足要求的条件

问题答案抗噪声干扰要求§2.3.3基于李氏稳定性单输入单输出自适应控制系统的设计

问题描述

1.已知

被控对象：

参考模型：

广义误差：

2.广义误差方程

3.广义误差状态方程

解决问题构造李雅普洛夫函数为正定阵。求满足的条件构造满足要求的条件

问题答案举例

+-自适应机构+-

问题描述

1.已知

可调对象（结构）：

参考模型：

2.广义误差方程

3.广义误差状态方程

解决问题构造李雅普洛夫函数为正定阵。求满足的条件构造满足要求的条件

问题答案§2.4用超稳定性理论设计模型参考自适应系统

§2.4.1引言

李雅普诺夫稳定理论的应用缺陷如何构造合适的李雅普诺夫函数？

波波夫提出超稳定性理论超稳定性概念是波波夫于六十年代初研究非线性系统绝对稳定性时发展起来的。

它可以给出一族自适应规律，并且有相当系统的一整套设计理论。便于设计。波波夫研究的非线性系统

（1）非线性无记忆元件情况

线性时不变部分非线性无记忆元件－ 规定非线性无记忆元件满足：

那么， 满足什么条件时，系统绝对稳定？

0 （2）非线性有记忆元件情况 规定非线性有记忆元件满足（波波夫积分不等式

）：

那么， 满足什么条件时，系统全局稳定或全局渐近稳定？线性时不变部分非线性有记忆元件－()sG§2.4.2超稳定性理论 基本概念及定义

超稳定性定义

1.对于如图的闭环系统，其前向方块的解，对所有满足波波夫积分不等式

的反馈方块，都能满足下列不等式

那么，这个闭环系统就称为超稳定系统。

－()sG

2.对于如图的闭环系统，其前向方块的解，对所有满足波波夫积分不等式

的反馈方块，都能满足下列不等式

那么，这个闭环系统就称为渐近超稳定系统。

－()sG

3.满足上述两个定义的闭环系统的前向方块称为超稳定方块。二、超稳定性理论的应用关键

判定前向方块和反馈方块满足的条件： （1）反馈方块要求满足波波夫积分不等式 （2）前向方块要求其所有的解满足三、前向方块满足的条件

前向方块为正实函数或严格正实函数。

§2.4.3正实函数的定义 及其基本概念

正实函数定义

物理对应概念

最初是在网络分析与综合中提出来的，数学上的正实函数的概念与物理上的无源网络的概念密切相关。

由无源（线性）元件电阻、电感、电容及变压器等元件构成的网络吸收能量正实函数传递函数

2.数学定义

设是复变量的有理函数，如果（1）当为实数时，也是实数（2）在s平面右半平面无极点（3）而且当不是极点时，有且， 那么就称之为正实函数。二、超稳定性定理（无源性定理）

1.若是正实的，其充分必要条件是：存在着一个正实对称阵和一个半正定阵,以及阵，满足下列关系：

最小实现

2.若是严格正实的，其充分必要条件是：存在着一个正实对称阵和,以及阵，满足下列关系：

3.若是正实函数

，当时，则有。

4.若是严格正实函数

，当时，则有，。

§2.4