人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解《因式分解》 教学课件

14.3

因式分解14.3.2运用平方差公式因式分解第十四章整式的乘法与因式分解

1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a–b)(a+b)=a2-b22.(b+a)(-b+a)=a2-b2填一填：(1)(x+5)(x-5)=__________(2)(3x+y)(-y+3x)=__________(3)(-3a+1)(-1-3a)=__________x2-259x2-y29a2-1(1)982-22=_______.(2)已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____.你能说说算得快的原因吗？96008解:(1)982-22=(98+2)(98-2)=100×96=9600(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=4×2=8把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.

B下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？(1)x2+y2

()____________________；(2)x2-y2()____________________；(3)-x2+y2()____________________；(4)-x2-y2()____________________.不能能能不能这是平方和x2-y2=(x+y)(x-y)-x2+y2=(y+x)(y-x)这是平方和的相反数【点睛】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.简单说成“两数是平方，减号在中央.”例2.分解因式：(1)4x2-9

(2)(x+p)2-(x+q)2分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32；在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2.解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]

=(2x+p+q)(p-q)【点睛】公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例3.分解因式：(1)x4-y4

(2)a3b-ab分析：对于(1)，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了；对于(2)，a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解.解：(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y)(2)a3b-ab=ab(a2-1)

=ab(a+1)(a-1)【点睛】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

例4.计算下列各题：(1)1012－992；(2)53.52×4－46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；(2)原式＝4×(53.52－46.52)=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.【点睛】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.利用因式分解简便运算:(1)9982-22(2)1.992-2.992(3)1.222×9-1.332×4.解:(1)原式=(998+2)(998-2)=1000×996=996000(2)原式=(1.99+2.99)(1.99-2.99)=4.98×(-1)=-4.98(3)原式=1.222×32-1.332×22=(1.22×3+1.33×2)×(1.22×3-1.33×2)=(3.66+2.66)×(3.66-2.66)=6.32×1=6.32例5.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n.∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．【点睛】解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式