人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解《乘法公式：完全平方公式》示范教学课件

第十四章

整式的乘法与因式分解

14.2.2完全平方公式多项式与多项式是如何相乘的？

(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn复习引入一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.你能用不同的方法表示试验田的总面积吗？①总面积=(a+b)2②总面积=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2abb2a2ab你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2

计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_________；(2)(m+2)2=_________；(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4)(m-2)2=_________.p2+2p+1m2+4m+4P2-2p+1m2-4m+4计算：(a+b)2，(a-b)2.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2探究(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.可以合写成

(a±b)2=a2±2ab＋b2两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.(简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？图(1):(a+b)2=a2图(2):(a-b)2+ab+ab+b2a2ababb2=a2+2ab+b2=a2=a2-2ab+b2-ab+b2-aba2ababb2思考(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：1.说一说积的次数和项数；2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a,b有什么关系？它的符号与什么有关？思考公式特征：4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.例1运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2(2)解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2•(4m)•n+n2=16m2+8mn+n2

典型例题运用完全平方公式计算：(1)(x+6)2(2)(y-5)2(3)(-2x+5)2(4)解：(1)原式=x2+2·x·6+62=x2+12x+36(2)原式=y2-2·y·5+52=y2-10y+25(3)原式=(5-2x)2=52-2·5·2x+(2x)2=25-20x+4x2(4)原式=例2运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404解：(2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801

(a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2与a2-b2不一定相等.思考

例4常见的完全平方公式的变形完全平方公式变形(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab

②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab

②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____52变式：已知则_____98拓展训练8或-8变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_____3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______变式：若题目条件不变，则a-b的值为_____±112.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，则k=______3或-3

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)添括号法则(1)计算(x+2y-3)(x-2y+3)时，第一步将整式变形为

；(2)计算(a+b+c)2时可将

当作完全平方式中的a，把

当作完全平方式中的b.

［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］

例5运用乘法公式计算：ca+b(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；

(2)(a+b+c)2.

解:（1）原式

=［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］

=x2-(2y-3)2

=x2-(4y2-12y+9)

=x2-4y2+12y-9；（2）原式=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+c2+2(a+b)c

=a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.1.在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验.（1）a＋b－c＝a＋（）；（2）a－b＋c＝a－（）；（3）a－b－c＝a－（）；（4）a＋b＋c＝a－（）.练一练2.运用乘法公式计算：（1）(a＋2b－1)2；

（2）(2x＋y＋z)(2x－y－z).A课堂练习2．计算(－1－x)2的结果是(

)A．1＋x2 B．1－2x＋x2C．1－2x－x2 D．1＋2x＋x23．化简：(1－x)2＋2x＝________．4．已知a＋b＝2，ab＝－1，则a2＋b2＝________．D1＋x265.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b2.6.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.解：∵x+y=8,∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;∵x-y=4,∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;由①-②得4xy=48∴xy=