《测量误差与数据处理》课件-随机误差的其他分布

《测量误差与数据处理》随机误差的其他分布导语正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分布规律。随着误差理论研究与应用的深入发展，发现有不少随机误差不符合正态分布，而是非正态分布。随机误差的其他分布规律01CONTENTS目录误差分布的分析判断02随机误差的其他分布规律PART01一、随机误差的其他分布规律（一）均匀分布分组

分类按对数表舍入误差大小1-2526-5051-7576-100总和按符号分零误差00011正误差1412121250负误差1113131249共计25252525100按绝对值分0-1059952811-2035251521-3093321731-4043661941-50455721共计25252525100误差平均值2.83.0-2.8-2.40.14在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，故又称矩形分布或等概率分布。一、随机误差的其他分布规律（一）均匀分布均匀分布的分布密度f(δ)和分布函数F(δ)分别为：

均匀分布分布的数学期望为：

均匀分布的方差和标准差分别为：

一、随机误差的其他分布规律（一）均匀分布服从均匀分布的可能情形有：（1）数据修约引起的舍入误差；（2）数字显示末位的截断误差；（3）瞄准误差；（4）数字仪器的量化误差；（5）齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦引起的误差；（6）多中心值不同的正态误差总和接近均匀分布。一、随机误差的其他分布规律（二）反正弦分布反正弦分布实际上是一种随机误差的函数分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差，电子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。

反正弦分布的分布密度f(δ)和分布函数F(δ)分别为：一、随机误差的其他分布规律（二）反正弦分布反正弦分布的数学期望为：反正弦分布的方差和标准差分别为：

一、随机误差的其他分布规律（三）三角形分布

当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊分布。在实际测量中，若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总的测量误差为三角形分布误差。三角形分布误差的分布密度f(δ)和分布函数F(δ)分别为：一、随机误差的其他分布规律（三）三角形分布三角形分布的数学期望为：E=0三角形分布的方差和标准差分别为：

一、随机误差的其他分布规律（四）χ2分布。令ξ1,ξ2,…,ξν为ν

个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义一个新的随机变量χ2=ξ12+ξ22+…+ξν2随机变量χ2称为自由度为ν的卡埃平方变量。自由度ν表示式中项数或独立变量的个数。χ2分布的分布密度f(χ2)为：。

一、随机误差的其他分布规律（四）χ2分布最小二乘法中要用到χ2分布，此外它也是t分布和F分布的基础。由图中的两条χ2理论曲线看出，当ν逐渐增大时，曲线逐渐接近对称。可以证明当ν足够大时，曲线趋近正态曲线。χ2分布的数学期望为：χ2分布的方差和标准差分别为：

一、随机误差的其他分布规律（五）t分布令ξ和η是独立的随机变量，ξ具有自由度为ν

的χ2分布函数，η具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为：

随机变量t称为自由度为ν的学生氏t变量。t分布的分布密度f(t)为：

一、随机误差的其他分布规律（五）t分布t分布的数学期望为：t分布的方差和标准差分别为：t分布的数学期望为零，分布曲线对称于纵坐标轴，但它和标准化正态分布密度曲线不同。可以证明，当自由度较小时，t分布与正态分布有明显区别，但当自由度ν→∞时，t分布曲线趋于正态分布曲线。t分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。一、随机误差的其他分布规律（六）F分布若ξ1具有自由度为ν1的卡埃平方分布函数，ξ2具有自由度为ν2的卡埃平方分布函数，定义新的随机变量为：随机变量F称为自由度为ν1、ν2的F变量。F分布的分布密度f(F)为：

一、随机误差的其他分布规律（六）F分布F分布的数学期望为：F分布的方差和标准差分别为：

F分布也是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。误差分布的分析判断PART02二、误差分布的分析判断在测量中，要具体确定各种误差分布的规律，是一件比较复杂的事情。一个比较简单的方法是，结合实际经验和理论分析，对所关心的几种常见测量分布类型作出分析判断。简要介绍几种分析判断某些常见误差分布的方法。（一）物理来源判断法二、误差分布的分析判断根据测量误差产生的来源，可以判断其属于何种类型。如其测量受到至少有三个以上独立的、微小而相近的因素的影响，则可认为它服从或接近正态分布。又如测量值在某范围内各处出现的机会相等，则可认为它服从均匀分布。（二）函数关系法二、误差分布的分析判断利用随机变量的函数关系，可以判断误差属于何种分布。若ξ与η都在［-a,a］内服从均匀分布，那么（ξ+η)/2服从三角分布；若ξ服从均匀分布，那么

msin

(ξ+ξ0）服从反正弦分布；若ξ1,

ξ2,…,

ξn相互独立，且服从相同的正态分布

N

(0,1)，那么√("ξ"_𝟏^𝟐+"ξ"_𝟐^𝟐+⋯+"ξ"_n^𝟐)服从χ分布，而"ξ"_𝟏^𝟐+"ξ"_𝟐^𝟐+⋯+"ξ"_n^𝟐服从χ2分布；若ξ与η服从χ2分布，且相互独立，那么ξ/η服从F分布；若ξ服从正态分布

N

(0

,1)，ξ服从χ分布，ξ与η相互独立，那么ξ/η服从

t

分布。（三）图形判断法二、误差分布的分析判断对重复测量获得的样本数据绘出其频率密度直方图，并与各种