专题08 不等式及不等式组（原卷版）

第08讲不等式及不等式组

1.结合具体问题，了解不等式的意义

2.探索不等式的基本性质

3.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集

4.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组解集

5.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题

★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

考点1：不等式及其性质.....................................................................................................................2

考点2：一元一次不等式解法及其解集表示.....................................................................................4

考点3：一元一次不等式组解法及解集表示.....................................................................................6

考点4：一元一次不等式的实际应用.................................................................................................9

课堂总结：思维导图..........................................................................................................................14

分层训练：课堂知识巩固..................................................................................................................14

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考点1：不等式及其性质

①不等式及其相关概念：

（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.

（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.

（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.

②不等式的性质：

性质1：若a＞b,则a±c>b±c；

ab

性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；

cc

ab

性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，<.

cc

【例题精析1】｛不等式的定义★｝下列各式：①1x：②4x50；③x3；④x2x10，不等

式有()个．

A．1B．2C．3D．4

【例题精析2】｛不等式的性质★｝若ab，则()

A．a2b2B．a|m|b|m|C．ac2„bc2D．ac2bc2

【例题精析3】｛不等式的性质★｝已知实数x，y满足xy3，且x3，y…1，则xy的取值范

围．

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【对点精练1】｛不等式的定义★｝现有以下数学表达式：①30；②4x3y0；③x3；

④x2xyy2；⑤x5；⑥x2y3．其中不等式有()

A．5个B．4个C．3个D．1个

【对点精练2】｛不等式的性质★｝P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四

人的轻重正确的是()

A．RSPQB．QSPRC．SPRQD．SPQR

【对点精练3】｛不等式的性质★｝根据不等式的性质，下列变形正确的是()

A．由ab得ac2bc2B．由ac2bc2得ab

1

C．由a2得a2D．由2x1x得x1

2

【对点精练4】｛不等式的性质★｝已知xy3，且x1，y„0，若mxy，则m的取值范围是．

【对点精练5】｛不等式的性质★｝已知实数a，b，c，满足ab8，ca10．若a…2b，则abc

的最大值为．

【对点精练6】｛不等式的性质★｝已知实数x、y满足2x3y4，且x1，y„2，设kxy，则

k的取值范围是．

【实战经典1】（2021•临沂）已知ab，下列结论：①a2ab；②a2b2；③若b0，则ab2b；

11

④若b0，则，其中正确的个数是()

ab

A．1B．2C．3D．4

【实战经典2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是(

)

A．a5b5B．6a6bC．abD．ab0

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a1b23c

【实战经典3】（2021•内江）已知非负实数a，b，c满足，设Sa2b3c的最大

234

n

值为m，最小值为n，则的值为．

m

考点2：一元一次不等式解法及其解集表示

①一元一次不等式定义：

用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一

元一次不等式.

②解法：

（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.

（2）解集在数轴上表示:

x≥ax＞ax≤ax＜a

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1

【例题精析1】｛解不等式★｝已知a、b为常数，若axb0的解集是x，则bxa0的解集是(

3

)

A．x3B．x3C．x3D．x3

xa

【例题精析2】｛不等式的解集★★｝关于x的不等式组有解，则a的值不可能是()

x…1

1

A．0B．1C．D．1

2

xa

【例题精析3】｛不等式的解集★★｝已知不等式组的整数解有三个，则a的取值范围是()

x5

A．1a„2B．2„a3C．1a2D．1„a2

【例题精析4】｛不等式的解集★｝满足3x„1的数在数轴上表示为()

A．B．

C．D．

【例题精析5】｛一元一次不等式的定义★｝若(m2)x2m115是关于x的一元一次不等式，则m的

值为．

x„5

【对点精练1】｛不等式的解集★★｝关于x的不等式组无解，则a的取值范围是()

xa

A．a„5B．a…5C．a5D．a5

【对点精练2】｛不等式的解集★｝不等式x1…2x1的解集在数轴上表示正确的是()

A．B．

C．D．

【对点精练3】｛一元一次不等式的定义★｝已知(m2)x|m|130是关于x的一元一次不等式，则m的

值为．

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【对点精练4】｛不等式的解集★｝不等式x4…2的解集为．

【实战经典1】（2021•深圳）不等式x12的解集在数轴上表示为()

A．B．

C．D．

【实战经典2】（2020•天水）若关于x的不等式3xa„2只有2个正整数解，则a的取值范围为()

A．7a4B．7„a„4C．7„a4D．7a„4

【实战经典3】（2021•眉山）若关于x的不等式xm1只有3个正整数解，则m的取值范围是．

考点3：一元一次不等式组解法及解集表示

①定义

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

②解法

先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

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【例题精析1】｛不等式的定义★｝下列不等式组：

x2x0x10x302

①；②；③；④；⑤x1x，其中是一元一次不等式组的个数

3()

x3x24y40x7x24

A．2个B．3个C．4个D．5个

x1m1

【例题精析2】｛不等式组的解集★★｝在关于x的不等式组恰好有3个整数解，那么m的

22x3

取值范围是．

3x„4x1

【例题精析3】｛不等式组的解集★★｝若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值

xa0

范围为．

【例题精析4】｛解不等式组★｝解下列不等式组并在数轴上表示它们的解．

3x12(x1)

2x„3

（1）；（2）x3．

3(x1)x9…1

2

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4x160

【对点精练1】｛不等式组的解集★★｝求不等式组的非负整数解．

3x6„0

3xa2(x2)

【对点精练2】｛不等式组的解集★★｝已知不等式不等式组15的整数解有3个，则a的

xx2

33

取值范围为．

2

xx1

【对点精练3】｛不等式组的解集★★｝若关于x的一元一次不等式组3恰有3个整数解，则a

4x1…a

的取值范围是．

2(x1)„3x

【对点精练4】｛解不等式组★｝解不等式组：3x14x1．

1

23

3x2„x6

【对点精练5】｛解不等式组★｝解不等式组5x1，并把解集在数轴上表示出来．

2x

2

x64x3

【实战经典1】（2021•日照）若不等式组的解集是x3，则m的取值范围是()

xm

A．m3B．m…3C．m„3D．m3

2x1…x

【实战经典2】（2021•潍坊）不等式组113x1的解集在数轴上表示正确的是()

x

3412

A．B．

C．D．

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2x3…1

【实战经典3】（2021•呼和浩特）已知关于x的不等式组xa1无实数解，则a的取值范围是(

1…

42

)

55

A．a…B．a…2C．aD．a2

22

4(x1)3x2

【实战经典4】（2021•宁夏）解不等式组：1x1x．

…1

23

考点4：一元一次不等式的实际应用

（1）一般步骤

审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.

（2）应用不等式解决问题的情况

a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过

（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案

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【例题精析1】｛不等式的应用★★｝据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著

作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁

道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大

于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我

和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为

2

450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁

3

道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长

津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为元．

【例题精析2】｛不等式的应用★★｝小明同学所在班级举行了生态文明知识小竞赛，试卷一共有25道

题．评分办法是答对一题记4分，不答记0分，答错一道扣2分，小明有3道题没答，但成绩超过60

分，则小明至少答对了道题．

【例题精析3】｛不等式的应用★★｝为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警

大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协

助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6

人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，

则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为人．

【例题精析4】｛不等式的应用★★｝方方驾驶汽车匀速地从甲地去乙地，设小汽车的行驶时间为t（单

位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时）．且全程速度限定为不超过120千米/小时．若他以80

千米/小时的平均速度行驶，则需6小时到达目的地，若方方必须要在5小时内（包括5小时）到达乙

地，那么行驶的平均速度v的范围是．

【例题精析5】｛不等式的应用★★｝为支持贫困山区的希望工程，某学校组织学生准备了1710个笔记

本，664支钢笔及若干副三角板．学生们将这些学习用品分成了甲、乙、丙三类包裹进行邮寄，一个甲

类包裹里有10个笔记本、8支钢笔和6副三角板，一个乙类包裹里有15个笔记本、2支钢笔和7副三

角板，一个丙类包裹里有20本笔记本、8支钢笔和10副三角板．已知甲、乙、丙三类包裹都为正整数，

并且甲类包裹的数量大于31个，丙类包裹的数量大于33个，那么所有包裹里三角板的总数为副．

【例题精析6】｛不等式的应用★★｝（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为

扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农

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机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，

设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机

具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）

请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

【例题精析7】｛不等式的应用★★｝（2020•邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地

摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台

A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．

（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备

多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据

以上信息，小丹共有哪些进货方案？

【对点精练1】｛不等式的应用★★｝为响应《青岛市“互联网全民义务植树”倡议书》的号召，某校学

生会组织七年级和八年级共60名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植3棵树，八年级学生平均

每人植5树棵，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需名．

【对点精练2】｛不等式的应用★★｝某商店以每辆300元的进价购入100辆自行车，并以每辆360元

的价格销售，一段时间后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时已售出自行车的数量至少

为辆．

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【对点精练3】｛不等式的应用★★｝某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品

积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打折．

【对点精练4】｛不等式的应用★★｝用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度

AC30m，要使靠墙的一边长不小于25m，那么与墙垂直的一边长x(m)的取值范围为．

【对点精练5】｛不等式的应用★★｝我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，

有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、

祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数

1

对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，

5

每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价

3

的售出，将灯笼每对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给

4

了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼对．

【对点精练6】｛不等式的应用★★｝（2019•德阳）某机电厂有甲乙两个发电机生产车间，甲车间每天产

量为A型发电机和B型发电机共45台，其中A型发电机数量比B型发电机数量多5台．

（1）问甲车间每天生产A、B两种型号发电机各多少台？

（2）乙车间每天产量为50台，其中A型发电机20台，B型发电机30台，现有一订单需A型发电机720

台和B型发电机M台，但由于受原材料供应限制，两车间不能同时生产，厂里决定由甲乙两车间先后用30

天完成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于甲车间还有其他生产任务，最多只能安排27天参

加此订单生产，求出M所有的可能值．

【实战经典1】（2021•攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作

为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的

2倍，则不同的购买方案种数为()

A．1B．2C．3D．4

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【实战经典2】（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并

称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：

（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；

（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；

（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．

若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为．

【实战经典3】（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废

水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该

车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已

知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三

方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费

370元．

（1）求该车间的日废水处理量m；

（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超

过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．

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课堂总结：思维导图

分层训练：课堂知识巩固

1．（2022•南岸区自主招生）不等式x1的解集在数轴上表示正确的是()

A．B．

C．D．

x10

2．（2022春•安阳县期末）将不等式组的解集在数轴上表示出来正确的是()

3x0

A．B．

C．D．

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3．（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是()

A．若ab，c0，则acbcB．若ab0，则a0，b0

a

C．若a0，b0，则ab0D．若1，则ab

b

4．（2022•余姚市模拟）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这

两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩

礼品x件，则能够得到的不等式是()

A．100x80(10x)900B．10080(10x)900

C．100x80(10x)…900D．100x80(10x)„900

1

x1„3

5．（2022秋•南岗区校级期中）不等式组2的解集是．

2x6

6．（2022•襄州区模拟）某次知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小聪

有1道题设答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对的题数是

7．（2021秋•雁峰区期末）一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，

在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），则他至少答对了道题．

8．（2022春•宁武县期末）已知(m4)x|m3|26是关于x的一元一次不等式，则m的值为．

9．（2022春•鼓楼区校级期末）已知ab，则ab（用“”或“”号填空）．

x10

10．（2022•朝阳区一模）不等式组的解集为．

2x3

5x23x4

11．（2022•信阳模拟）不等式组12的最大整数解为．

x…x

33

1

12．（2022•岱岳区三模）若关于x的不等式(a1)x1可化为x，则a的取值范围是．

a1

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1．（2022春•淮北月考）已知xy，下列式子不成立的是()

A．x1y1B．xy100

11

C．2022x2022yD．xy

20222022

2．（2022春•沭阳县月考）对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数．如：{2.7}3，{2022}2022，

{3.14}3，若{2x3}2，则x的取值范围是()

5555

A．x„2B．„x2C．3„xD．3x„

2222

3．（2022春•渝中区校级月考）下列说法中错误的是()

A．若ab，则a1b1B．若3a3b，则ab

C．若ab，则ac2bc2D．若ac2bc2，则ab

4．（2022秋•浦江县月考）若ab，则下列式子正确的是()

A．2022a2022bB．a2022b2022

C．2022a2022bD．2022a2022b

5．（2022秋•鄞州区期中）不等式3x3x5的正整数解有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

x(4a2)„2

6．（2022秋•九龙坡区期中）若关于x的不等式组3x1x2的解集为x„4a，且关于y、z的二元一次

23

y2z4a5

方程组的解满足yz…1，则满足条件的所有整数a的和为()

2yz2a4

A．3B．2C．0D．3

7．（2022春•滨海县月考）下列说法中，错误的是()

A．不等式m2的正整数解只有一个

B．3是不等式3m20的一个解

C．不等式m2的整数解有无数个

D．不等式2m4的解集是m2

1

2(x)„2k1

2

8．（2022秋•九龙坡区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集是x„k，且关于y的

3x5

x1

2

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方程2y3k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为()

A．5B．8C．9D．15

2x„3,

9．（2021秋•钱塘区期末）若不等式组有解，则k的取值范围是()

xk

A．k3B．k2C．k„3D．k…2

1

10．（2022•南谯区开学）如果不等式ax1的解集是x，则a的取值范围是()

a

A．a…0B．a„0C．a0D．a0

x20

11．（2022•南京模拟）若关于x的不等式组的整数解只有3个，则a的取值范围是()

xa„0

A．5„a6B．5a„6C．5a6D．5„a„6

12．（2022春•玉林期末）小华去商店购买A、B两种玩具，共用了12元，A种玩具每件1元，B种玩具

每件3元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量不少于B种玩具的数量，则小华的购买方案有()

A．7种B．6种C．4种D．3种

5x2„3x5

13．（2022春•武邑县校级期末）已知题目：解关于x的不等式组，其中“□”内的数字印刷

5x

不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是()

1715

A．B．C．8D．9

22

x3y4t

14．（2022春•思明区校级期末）已知关于x，y的方程组，其中3„t„1，给出下列结论：

xy3t

x1

①是方程组的解；

y1

②若xy3，则t2；

③若M2xyt，则M的最小值为3；

④若y…1时，则0„x„3；

其中正确的有()

A．①②B．①③C．①②③D．①③④

15．（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体

重从小到大排列的顺序为()

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A．DBACB．BDCAC．BADCD．BCDA

ax119x

1．（2022春•九龙坡区校级月考）若数a使关于x的方程1有非负数解，且关于y的不等式组

23

y172y

2

22恰好有三个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是()

2y1a2y

A．27B．29C．42D．45

x84x1

2．（2021秋•雁峰区期末）若不等式组的解集是x3，则m的取值范围是()

xm

A．m3B．m„3C．m3D．m…3

3．（2022春•如东县期中）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]2，[1]1，[1.21]2．

7

以下结论：①当1x1时，[1x][1x]的值是1；②[a1][a]1；③a1[a]„a；④x是方程

3

3x2[x]10的唯一解，其中正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．（2022秋•柯桥区期中）对于三个数a、b、c的最小的数可以给出符号来表示，我们规定min{a，b，c}

表示a、b、c这三个数中最小的数，例如：min{0，2，3}2，min{1，2，2}2．若min{3x4，

2，42x}2，则x的取值范围是()

22

A．x1B．„x„1C．1„x„1D．1x2

3