2024-2025学年新教材高中数学课时作业21第十一章立体几何11.4.2平面与平面垂直含解析新人教B版必修第四册

PAGEPAGE1课时作业21平面与平面垂直时间：45分钟eq\a\vs4\al(一、选择题每小题5分，共40分)1．两个平面相互垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内解析：有如图所示三种状况．2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面BDC解析：如图，已知AD⊥BC，BD⊥AD，且BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.3．已知l⊂β，m⊥α，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是(D)A．②与④B．③与④C．①与②D．①与③解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,α∥β))⇒m⊥β)),,,l⊂β))⇒m⊥l，∴①正确，否定A、B，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(又\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,l∥m))⇒l⊥α)),,,l⊂β))⇒β⊥α，∴③正确，否定C，故选D.4.如图，在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是(C)A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．5．在四面体A­BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于(A)A．90°B．45°C．60°D．30°解析：如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝eq\f(\r(2),2)a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故选A.6．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，点P到三个面的距离分别是3,4,5，则OP的长为(B)A．5eq\r(3)B．5eq\r(2)C．3eq\r(5)D．2eq\r(5)解析：∵三个平面两两垂直，∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体，∴OP即为对角线，∴OP＝eq\r(32＋42＋52)＝eq\r(50)＝5eq\r(2).7．已知二面角α­l­β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为eq\r(3)，Q到α的距离为2eq\r(3)，则P，Q两点之间距离的最小值为(C)A.eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4解析：如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2eq\r(3)，BP＝eq\r(3)，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\r(12＋AP2)≥2eq\r(3)，当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时取最小值．故选C.8．如图(1)所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠DCB＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A­BCD(如图(2)所示)，则在四面体A­BCD中，下列说法正确的是(D)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.又∵∠BCD＝45°，AB＝AD，AD∥BC，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.而平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ADC.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题6分，共18分)9．若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则肯定相互垂直的平面有7对．解析：如图，平面PAD，PBD，PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1­AB­C的大小为45°.解析：∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1­AB­C的平面角，大小为45°.11．假如规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是平行．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．三、解答题写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分12．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明：(1)由直三棱柱ABC­A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.13．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2eq\r(2)，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点．(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离d.解：(1)证明：证法一：连接AC，∵正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又∵AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1.∵E、F分别为AB、BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.证法二：∵BE＝BF，∠EBD＝∠FBD＝45°，∴EF⊥BD.又∵EF⊥D1D，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)设EF与BD交于点G，连接B1G，如图所示，在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H.∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1＝B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d＝D1H.解法一：在Rt△D1HB1中，D1H＝D1B1·sin∠D1B1H.∵D1B1＝eq\r(2)A1B1＝eq\r(2)·2eq\r(2)＝4，sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝eq\f(B1B,GB1)＝eq\f(4,\r(42＋12))＝eq\f(4,\r(17))，∴d＝D1H＝4·eq\f(4,\r(17))＝eq\f(16\r(17),17).解法二：∵△D1HB1∽△B1BG，∴eq\f(D1H,B1B)＝eq\f(D1B1,B1G).∴d＝D1H＝eq\f(B1B·D1B1,B1G)＝eq\f(42,\r(42＋12))＝eq\f(16\r(17),17).解法三：连接D1G，如图，则△D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，则eq\f(1,2)·B1G·d＝eq\f(1,2)B1B·D1B1，∴d＝D1H＝eq\f(B1B·D1B1,B1G)＝eq\f(16\r(17),17).——素养提升——14．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满意DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由题意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD.∴平面MBD⊥平面PCD.15．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵