2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定课时作业含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE7课时作业36平面与平面垂直的判定时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)A．有1个 B．有2个C．有多数个 D．不存在解析：经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有多数个，故选C.2．已知二面角α­l­β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30° B．60°C．90° D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α­l­β的平面角(或其补角)．3．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(C)A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PBC解析：由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.4．(多选)如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是(BD)A．PA∥平面MOBB．MO∥平面PACC．OC⊥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC解析：因为PA⊂平面MOB，故A错误；因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，又OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C错误；又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确．5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(C)A．60° B．30°C．45° D．15°解析：由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.6.如图所示，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.二、填空题7．如图，在三棱锥S­ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，则二面角S­AC­B的大小为90°.解析：因为AC⊥平面SBC，SC，BC⊂平面SBC，∴AC⊥SC，AC⊥BC，则∠SCB即为二面角S­AC­B的平面角．又SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，∴∠SCB＝90°.∴二面角S­AC­B的大小为90°.8．如图，在四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面②⑤(或①⑤或①②)．(只填序号，只填一组即可)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.解析：因为四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，所以CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，所以AB⊥平面POC，因为AB⊂平面ABC，AB⊂平面PAB，所以平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC，因为△ABC为等腰直角三角形，PA＝PB＝PC，所以PC2＝PA2＝PO2＋OA2＝PO2＋OC2，所以PO⊥OC，又PO⊥AB，OC∩AB＝O，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，所以两个相互垂直的平面为②⑤或①⑤或①②.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的平面角为∠BDC，其大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.三、解答题10.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.11.如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解：(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PB⊥AD.∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝eq\r(3)a.∴VP­ABCD＝eq\f(1,3)·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3)a3,3).——实力提升类——12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确．∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α­l­β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α­l­β的平面角的大小为(D)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC.设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α­l­β的平面角(或其补角)，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满意DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：如图，连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P­AC­D的正切值．解：(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又