2024-2025学年高中数学3.2习题课2习题含解析北师大版选修2-1

习题课(2)限时：45分钟总分：100分一、选择题(每小题5分，共40分)1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>eq\f(p,2))，则点M的横坐标是(B)A．a＋eq\f(p,2) B．a－eq\f(p,2)C．a＋p D．a－p解析：由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)的距离，所以点M的横坐标，即点M到y轴的距离为a－eq\f(p,2).2．若抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为10，则P点坐标为(B)A．(9,6)B．(9，±6)C．(6,9)D．(6，±9)解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线为x＝－1.∵P到F的距离为10，设P为(x，y)，∴x＋1＝10，∴x＝9.又P在抛物线上，∴y2＝36，y＝±6，∴P点坐标为(9，±6)．3．动圆M经过点A(8,0)且与直线l：x＝－8相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(A)A．y2＝32x B．y2＝8xC．y2＝－8x D．y2＝9x解析：由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以A为焦点，直线l为准线的抛物线，因此p＝16，故抛物线方程为y2＝32x.4．到定点(3,5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是(D)A．圆 B．抛物线C．线段 D．直线解析：∵点(3,5)在直线2x＋3y－21＝0上，∴符合条件的点的轨迹是过点(3,5)且与直线2x＋3y－21＝0垂直的直线．5．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(C)A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知4<r.因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以xeq\o\al(2,0)＝8y0，又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，所以xeq\o\al(2,0)＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即yeq\o\al(2,0)＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6，又因为y0≥0，所以y0>2，故选C.6．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为(C)A．45°B．60°C．90°D．120°解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，如图．∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝eq\f(1,2)∠AFB＝90°.7．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(A)A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1)B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1)D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)解析：由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2⊥y轴于点A2，过B作BB2⊥y轴于点B2，则eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BB2|,|AA2|)＝eq\f(|BF|－1,|AF|－1).8．已知点P为抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴的切点为点Q，则点Q(B)A．位于原点的左侧B．与原点重合C．位于原点的右侧D．以上均有可能解析：设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B，如图．由抛物线的定义知|PC|＝|PF|，由切线性质知|PA|＝|PB|，于是|AC|＝|BF|.又|AC|＝|DQ|，|BF|＝|FQ|，所以|DQ|＝|FQ|，而|DO|＝|FO|，所以O，Q重合，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝2，准线方程为x＝－1.解析：因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.10．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是2.解析：抛物线y2＝2x的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(1,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(1,2)＋x2＋eq\f(1,2)＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点的横坐标为2，故线段AB的中点到y轴的距离是2.11．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．解析：依题意可知，机器人行进的轨迹方程为y2＝4x.由题意知直线的斜率存在，且不为0，设斜率为k，则直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.由Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，得k2>1，解得k<－1或k>1.12．已知AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，则弦AB的中点M离x轴的最近距离为eq\f(1,4)(2a－1)．解析：如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A′，M′，B′.由抛物线的定义，|AF|＝|AA′|＝y1＋eq\f(1,4)，|BF|＝|BB′|＝y3＋eq\f(1,4).所以y1＝|AF|－eq\f(1,4)，y3＝|BF|－eq\f(1,4).又M是线段AB的中点，所以y2＝eq\f(1,2)(y1＋y3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|AF|＋|BF|－\f(1,2)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|AB|－\f(1,2)))＝eq\f(1,4)(2a－1)，等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦．又|AB|＝a≥1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，所以中点M到x轴的最近距离为eq\f(1,4)(2a－1)．三、解答题(共40分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤)13．(12分)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心M的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.14．(13分)已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为(eq\f(2,3)，0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)设点A的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d＝f(a)的函数表达式．解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－eq\f(2,3))2＋y2＝(x－eq\f(2,3))2＋2x＝(x＋eq\f(1,3))2＋eq\f(1,3).因为x≥0，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，所以当x＝0时，|PA|min＝eq\f(2,3)，故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)，最短距离是eq\f(2,3).(2)同(1)求得d2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．当a－1≥0，即a≥1时，deq\o\al(2,min)＝2a－1，解得dmin＝eq\r(2a－1)，此时x＝a－1；当a－1<0，即a<1时，deq\o\al(2,min)＝a2，解得dmin＝|a|，此时x＝0.所以d＝f(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2a－1)，a≥1，,|a|，a<1.))15．(15分)A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满意OA⊥OB，求证：A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值．证明：因为AB斜率不为0，设直线AB方程为my＝x＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(my＝x＋b,y2＝2px))消去x，得