工程经济学例题与练习 (一)

第二章资金的时间价值

一、例题

【例J2c2］有一笔50000元的借款，借期3年，年利率为8%,试分别计算计息方式为单利和复

利时，其应归还的本利和。

【解】用单利法计算：

F=P(1+i-n)=50,000X(1+8%X3)=62,000(元)

用复利法计算：

Fn=P(1+i)n=50,000X(1+8%)3=62,985.60(元)

【例题2—3］现设年名义利率r=15%,则计息周期为年、半年、季、月、日、无限小时的

年实际利率为多少？

解：年名义利率r=15%时,不同计息周期的年实际利率如下表

计息周期利率:日实际利率

年名义利率(r)计息周期年计息次数(m)

(i=r/m)(ieff)

年115%15.00%

半年2o5%15.56%

季4:.75%5o87%

15%月121.25%16.08%

周52(.29%6o16%

0365(o04%16.18%

无限小OO工限小16o183%

二、练习

(1)若年利率i=6取第一年初存入银行100元，且10年中每年末均存入100元，试计算:

1.到第十年末时的本利和？

2.其现值是多少？

3.其年金是多少？

解：首先画浮现金流量图如图1所示,图1可转化为图2F

则结々为：「

10-1\010

1.0年年

2、10001100W

3、

图1图2

(2)已知年利率「12%,某企业向金融机构贷款100万元。

⑴若五年后一次还清本息共应偿还本息多少元？

(2)若五年内每年末偿还当年利息，第五年末还清本息，五年内共还本息多少元?

1

(3)若五年内每年末偿还等额的本金和当年利息，五年内共还本息多少元？(等额本金还

款)

(4)若五年内每年末以相等的金额偿还这笔借款，五年内共还本息多少元？(等额本息还

款)

⑸这四种方式是等值的吗？

解：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)以上四种方式是等值的。

三。某人存款1000元,8年后共得本息2000元，这笔存款的利率是多少?若欲使本息和翻两

番,这笔钱应存多少年？

解：由

得

同理，由

得

四、复利计算：

⑴年利率厂12%,按季计息，1000元现款存10年的本息和是多少？

⑵年利率厂12%,按月计息，每季末存款300元,连续存10年，本利和是多少？

⑶年利率r=9%,每半年计息一次，若每半年存款600元，连续存10年，本利和是多少？

解：⑴由

(2)由

(3)由

五、证明：

(1)(P/A,i,n)=(P/A,i,n-l)+(P/F,i,n)

证明：

右式二

通分后有：

(2)P(A/P,i,n)-L(A/F,i,n)=(P-L)(A/P,i,n)+Li

P为原值,L为残值的固定资产的折旧(年金)的计算

证明：

左式二

上式中加一个Li,减一个Li,有

二右式

2

六.假设你从9年前开始，每月月初存入银行50元，年利率为6%,按月复利计息，你连续

存入71次后住手，但把本息仍存在银行。你计划从现在起一年后，租一套房子，每月月末付

100元租金，为期10年。试问：你的存款够支付未来10年房租吗？

解：

=60.54（元）＜100元

故这笔存款不够支付10年房租。

七.某人借了5000元，打算在48个月中以等额按月每月末偿还，在归还25次之后，他想以一

次支付的方式偿还余额，若年利率为12%,按月计息，那末，

⑴若他在第26个月末还清，至少要还多少？

⑵若他在第48个月末还清，至少要还多少？

解：首先画浮现金流量图

45000

押厂心神匚〉产恢-最」48F

_A,

J26眄一、25^26118~

3?二^0123

八。某公司1998妒1月1日发行2004年1月1日到期、利年率为8%的半年计息并付息一

次、面值为1000元的债券。如果某人拟购此债券，但他希翼能泰得年利率为12%,按半年

计•息的复利报酬，问在1998年1月1日该债券的价值是多少?

解：制000

九。某工厂购买尸台机跑—4估CU±能使用一年，每4年要大修一次，每次大修费用假定为

5000元，现在血—孤铝在至少其才少以支村28年看分期间的大修费支出？按年利率12%,每

[0112半年

半年计息一«=。？i=6%

解：画浮现金流量图

转化为500050005000

♦

第三章掘

T

01k

2=12%345（4年）

一、练习

P=?

♦p=?

一.若某项目现金流量图如下，ic=10%。试求项目的静态、动态投资回收期，净现值和内部收

益率。单位:万元

解：上图可转化为R=80_________

AA

R=80

->

12年

4ic=10%12%

ic=10%

2o项目的动态投资回收期

=231.6（万元）

30项目的净现值

=172o14（万元）

4.项目的内部收益率

设：ri=20%,贝ijNPV=llo3873

=2=25%,贝ijNPV=-33.3502

故

二.如果期初发生一次投资,每年末收益相同，在什麽条件下有：

解：画出该项目的现金流量图

根据定义有:汗RA,

由上式01n年

亦即V।

所以

又因为IRR>0

即（1+IRR）>1

所以,当n趋于8时，

于是，当n—8时，

此题表示如果建设项目寿命较长，各年的净现金流量稳定且大致相等的话,项目的IRR等于

Pt的倒数。

三,现金流量如下图，试求Pt与IRR、M、N之间的关系.

A

解：根据指标的定义，有：AA

所以有---------------------------------------------->

01MM+lN

即

此式表明项目迷国把项目总寿命N、静态投资回收期Pt与内部收益率

IRR之间的关系。

I

四.若现金流量图如下，试求证当n-8时，

证明：木飞

因为Fo―1nW

所以wic

又因为

所以

第四章多方案的比选

一、例题

【例】有4个方案互斥，现金流如下，试选择最佳方案.ic=15%.

4

项目1234

现金流00-5000-8000—10000

（万元）rio年0140019002500

解：因为1方案净现值为零，故取2方案为基准方案（NPV2〉0）.

比较方案3与2,根据现金流量差额评价原则，应有

说明方案2优于3。

再比较方案2和4.

说明方案4优于2o

因为方案4是最后一个方案，故4是最佳方案。

【例】有4个方案互斥,现金流如下，试选择最佳方案。ic=15%。

项目1234

现金流00-5000-8000-10000

（万元）rio年0140019002500

解：同理，因为1方案净现值为零，故取2方案为基准方案。

（1）比较方案3与2,根据现金流量差额评价原则，应有

得：说明方案2优于3o

（2）再比较方案2和4。

得:说明方案4优于2.

因为方案4是最后一个方案，故4是最佳方案。

【例】4种具有相同功能的设备A、B、C、D,其使用寿命均为10年，残值为0,初始投资和

年经营费如下。若ic=10%,试选择最有利设备。

4种设备的原始数据（单位：万元）

设备ABCD

初始投资30384550

年经营费1817.714o713o2

解：由于功能相同，故可只比较费用；又因为各方案寿命相等，保证了时间可比，故可利用净

现值指标的对称形式一一费用现值指标PC选优。判据是选择诸力案中费用现值最小者。

解：

所以，应该选择设备D.

（2）经济性工学的解法

第一步：按投资额由小到大排序后，先根据静态数据淘汰无资格方案。单位：万元

投资年经营费无资格重算无资重算

设备

1C方案格

5

方案

BC

A3018

B3817.7

C4514.7

D5013.2

第二步:从剩余方案中比选最优方案。本例中仅剩A、D两种设备备选，若用AIRR指标，则应

令

代入数据，则有

故应选择设备Do

【例】如果设备A、B、C、D的投资、收益数据如下表所示，各方案寿命均为无限大。

殳备

ABCD

项目

初始投资（万元）20304050

年净收益（万元）2o05.46.27.8

试问：（1）若：ic=10%,应选哪种设备?

（2）ic在什么区间，选择B设备最为有利？

解：第一步，按投资额由小到大排序后，先根据静态数据淘汰无资格方案。单位：万元

设备投资I年收益C无资格方案△IRR排序

A202o00o1A—

B305.40o34Oo1818%©

C406o20o08C—

D507.80.16Oo1212%②

因为n----〉8,(p/A,i,8)=i/i,

所以，由△NPV=Z\R(P/A,AIRR,8)—Ai=o,

可知，n——〉8时的△IRR=AR/Z\I。

第二步：根据上表计算结果绘出排序图。△【RR18

第三步：可根据△IRRNic,选优：

12

⑴当ic=10%时，显然AIRRO—B和△IRRB_>D都符科示准,因此应选择D设叫备=。10%

0—>BB—>D6

（2）根据上述准则，12%<icW18%,应选B设备。因为这是由B至IJD的增量投资的△TRRB->D

=12%（ic,不符合选中的标准。

也就是说，按经济性工学应选择AIRR由大于ic转变为小于ic之前的增量方案。如（1）

中的B—>D,即D设备和⑵中的0—）B,即B设备.

【例】有A、B两种设备均可满足使用要求，数据如下:

设备投资I（7i元）每年净1攵益（万元）寿命（年）

A10004004

B20005306

若有吸引力的最低投资收益率MARR=10%,试选择一台经济上有利的设备。

解:A、B寿命期不同，其现金流如下：

其最小公倍数为12年。____竺2___

400

留夕久以八A

婀为g项目与贝日9等效；［氏二项年目与B项目等效，故A项目优

于B项目。100010005301000

【例】某J.为增加品种力5案30,考虑了两种方案（回,收入可忽稍不计），假定ic=15%,

e1/6

现金流如下：14

项，r1标67B年

0

初飒物（明%）21020501600

年经营成本（万元）340300

残值（万元）100160

寿命（年）69

解：画浮现金流量图

（1）第一种不承认方案未使用价值。100

------->

取6A年为陋01正16年

此时华%案优于B：方案。

因为IP2c5Ao<PCB1,

小LV

⑵预测方案未使用价值在研究期末的价”并作为现州6流。入事（这种方法取决于对处理回收

预则口的准确性。.如果重1估值有艰难，普通泰6用回收固J=9资产淼。）

因为IWPC应，所以B方3Ho优于A方案。

二、练习16°°

一。两个互斥的投资方案A、B,基准贴现率在什么范围内应挑选方案A?在什么范围内应挑

选方案B?净现金流量如下表：

方案年末净现金流量（元）

01234

7

A-1000100350600850

B-10001000200200200

解：首先计算出A、B项目及A、B差额项目的内部收益率。

IRRA=23%

IRRB=34%

△IRRA—B=13%（NPVA=NPVB）

但由于这里A、B项目的投资相等，所以不能用前面的原理来选择，即用投资多的项目减

去投资少的项目，若此时的△IRR>ic,则投资多的项目优于投资少的项目。

我们可以通过画图的方式来选择。

NPV

由上图看出：

A

当时，选A项目

、（B时，选B项目

二.具有同样功能f勺设，有关资料如下表;不计设备残值，若两台设备的使用年限均为8

年，贴现率为13%

0

设备13%初2皆％投资34%产品加工费

A20万元8元/件

B30万元6元/件

⑴年产量是多少时，设备A有利？

⑵若产量为13000件/年，贴现率i在什麽范围时，A设备有利？

⑶若产量为15000件/年，贴现率为13%,使用年限为多长时，A设备有利?

解：（1）设年产量为Q万件，若A设备有利，则:

解得：Q（1.042（万件）

此时选择设备A有利。

（2）

设i=20%,则不等式左边二3.837

设i=15%,则不等式左边二4。487

山三角形比例关系，有：ic〉19.93%

此时选择设备A有利。

（3）

解得n<4.65（年）

此时选择设备A有利.

三。有A、B、C、D四个互斥方案，寿命相同。有关资料如下：若ic=15%,应选哪个方案?

方案（j）初始投资

8

（1）（元）k二Ak=Bk=C

A10000019%

B17500015%9%

C20000018%17%23%

D25000026%12%17%13%

解：选A为暂时最优方案

故，A优于B

故，C优于A

故，C优于D

一.有A、B、C、D四方案互斥,寿命为7年，现金流如下.试求ic在什麽范围时，B方案不仅

可行而且最优。

各方案现金流量（耳国位：万元）

ABCD

投资2000300040005000

净收益50090011001380

解：（1）净现值法

欲使B方案不仅可行而且最优，则有:

即：有：

当ic二15%

]<

当ic=10%得ic>14.96%、

〃当ic=25%[得14.96%〈icW23。06%

乂I

（当ic=20%得icW23。06%，

2）差额内部收前率法L|

欲使B方案不仅可行而且最优则有：

布于方程1（

、当rl=35%,方程1左边工。009

9

当r2=40%,方程1左边二一94。8645

对于方程2

当rl=10%,方程2左边二-26.3162

当r2=5%,方程2左边=157.2746

对于方程3

当rl=15%,方程3左边二4.1604

当r2=10%,方程3左边二4.8684

对于方程4

当rl=25%,方程4左边=3.1611

当r2=20%,方程4左边二3.6046

联立以上4个方程结果，有

（3）经济性工学解法

年收益无资格重算无资格重算

设备投资I

R方案方案

A2000500AC

B3000900

C40001100

D50001380

由上表可淘汰A、C方案，故只需计算B、D方案。

或者

所以有

思量：

能否求出ic在什么范围时，A或者C方案不仅可行而且最优。

A或者C方案为无资格方案，无论ic在什么范围都不可能成为最优方案,

二,如果有A、B、C、D四个互斥投资方案，寿命期为无穷大，其它数据如下：

方案ABCD(1)

投资I（万元）100200300400若

净现金流量R（万元）10364560ic=10

%应

选哪个方案？

⑵若希翼B为最优投资规模，ic应调整在什麽范Bl?

解：（1）求各个方案的NPV

10

因为寿命为无穷大，故NPV可表示如下;

因为NPVD最大,所以方案D最优。

⑵若B为最优规模，则

(r

得______,

一

所以斤E,

金田说》卜工冰块十安以1-fc•汪

川十；yj、e"叼zu火。口八木nj八3、

方案无资格重算无资格重算

方案方案

A0.1AC

B0.260o180o18

C0o09

D0.150o12

由上表看出,A、C是无资格方案。

此时只需对B、D项目进行比较。又由于寿命为无穷大，故有:

所以有：

绘出排序图

由上图看11：当12%<]LCW18%时,选择B方案最经济。

三、例题18%

A-A1。

【例】表所;K6个项目独3为6格

若：（1-4巳工1€%广一0川资Ki”黑。•万105,滋择哪些项目？

（2）投资在100：了以内，i（-10%，投资每增加100万，ic提高4个百分点，这时应

0—B-►D

选择哪些项1?

0项目200400।（投资）现金流（万元）

0P6

A-6018

B-5511.9

C-451502

D—8021o7

E—7528.3

I-___________2270____________17

若采用双向排序均衡法,则过程如下:

11

1.首先求各项目的内部收益率(r)

rA=20%；np8%；rc=25%;

nrl6%；rE=30%；rF=12%.

2。排序并绘成图，标注限制线ic和Imax。

3o选优

⑴根据条件皎1,lmax=250万元时，化可％挨次选项目E、C、A,投资额为180万元，剩余70万

元资金不限项目D睁%，用。由于项口的不可分2到％性,9项目不能被选中，但下一项目F可被

选中，且投费为70万元，至心-年金金打比完)因此，最终的最优项目组合投资方案为投资应

、14%X______

C、E、F).16%：12%

⑵根据条眩可1©上性科君I-D条吟布邛咯曲线相交心于1陶％目D,由于项目的不可分

割性，只能附资5丁1页4Kle6、oj80"7。55|一

若按照R/0排序75120180260330385I(投资)

Imax=^250RR/I

75/

Er

28w30.38

C4515.20o34

A60180o30

D8021.70.27

F70170o24

B55IL90o22

计算得：IRR=16%,TRR=12%,TRR=8%

,IRR

第五章方案的不确定性分析

一、例题

【例5-3]ML生产某种产品T计勺广晶服母2件%，每件出厂价50元，企业固定开支为66000

元/年，产品交动成本1极28元/件，[辣皈f12%

⑴试计算4:哽的最大C可货以必DH…F十-ic=10%

I

⑵试计算07通式号|年5洲七利。产号8017([)5)B

⑶企业要求年倒7次5万12Q时，18产0量是2多65？330385|(投资)

⑷若产品出匚价由50I兆a下人降2到。他行若还要维持5万元赢余，问应销售的量是多少?

解：(夕企业的最五可能赢利：其6000-(50—28)-66000=66000(元)

(2)企业盈亏平衡时的产量:

⑶企业要求年赢余5万元时的产量:

12

⑷产品出厂价由50元下降到48元，若还要维持5万元赢余应销售的量:

【例】某企业一项投资方案的参数估计如下:

项目投资寿命残值年收入年支出折现率

参数值10000元5年2000元5000元2200元8%

试分析当寿命、折现率和年支出中每改变一项时,NPV的敏感性。

解：NPV=-10000+（5000-2200）（P/A,8%,5）+2000（P/F,8%,5）=2541（元）

一次只改变一个参数值,NPV的敏感性分析结果如图所示。

年支出NPV阮）

可以看出，NPV对另和年「魂出敏感，对折现率不敏感。

寿命

折现率

【例】某项目拟投资l（X）00元，项虹如5年内，每年末收益2500元，5年末回收残值500

兀，ic=8%0试对其进行敏感性分析,通定因素为甘、S（每年末收益）、ic。

解：①首先求』QE常指求只偏串眼值

-60%为。-20%020%40%63%因素变化率

②相对值法（《不确定因素变化正负10%）

敏感性曲线图

Ip+10%时,IP=11000,NPV(8)=519.88(元)

II—10%时，Ip=9000,NPV(8)=2519O88(元)

S+10%时，S=3080,NPV(8)=2637.84(元)

S-10%时，S=2520,NPV（8）=40i«92（元）

ic+10%时，ic=8.8%,NPV（8）=1275o74［元）

icTO%时,ic=7o2%,NPV（8）=1772.51（元）

由上可看出，收入S最敏感,1次之，基准收益率i最次。

PC

【例】某公司评价的某项目之可能的各年净现金流量和该公司约定的CV-d换算表如下，若

ic=8%,试求E（NPV）并判断其可行性。

现金流量分布表CV-d换算表

年份（元）概率

0-110001.0

140000.3

50000.4

60000.3

245000o4

60000.2

13

a

加步匕建ta期\年。根据预测，项目生产期为2年,3年,4年和5年的

0.00-0.071.0

75000.4

335000.250o08-0.150.9

60000o50.16-0o230。8

85000.25

0.24-0.320.7

解:第一步先求出各d,为此计算各年的E(Nt)0o33-0.420.6

再求各年的净现金流量的：0o43—0.540.5

0.55—0.700.4

最后利用求出各年的CVt

CVO=0

CV1=774.6/5000=C.15

CV2=1341.64/6000=0。22

CV3=1767.77/6000=0.29

第二步利用公式(4—5)可求出E(NPV)

所以结论是：即使考虑到可能存在的风险，项目还是可以接受的。

【例】试计算上例中的NPV小于零的概率，并分析其可行性。

解：因为

所以

又因为

所以

至此，可以计算出期望净现值相当于项目现金流量标准差的倍数为:

根据Z值，可从正态分布表中，查得项目净现值小于零的概率Pb.

经查表：PF0.0132,即.21'犷40不J概率仅为1。32%，风险很小.

【例】某项目需投资

Pb=0.0132

概率分别为X好力、(),5和0o1；收入(每年相同)为5万元、10万元和12.5

万元的概率分别为。。3、0.5和J(。g/)ei皈Np，V计算该项目的E(NPV)和NFV20的概率。

解：由决策树可计算出以下联合概率、NPV、加权NPV,并最终计算出E(NPV)0

序号联合概率NPV加权NPV

10o06-102930—6176

20.06—68779—4127

30.15-37733—5660

40.03-9510-285

50.10-24042-2404

14

60o10442594426

70o2510635126588

80o051627998140

90.0415402606

100o041007794031

110o1017839417839

120.022489534979

合计：LOOK(NPV)=47967

将上式NPV由小到大排序，求出NPV的累计概率

NPV(元)事件概率累计概率

—1029300o060«06

-687790o060.12

—377330o150o27累计概率

—240420o100.371

-95100.030。400.8

154020o040«440.6

442590o100.54

1007790.040.58I

■A

1063510o250.83

-20000-10000100002000030000

1627990o050.88°00项目投资成佥图oo

1783940o100o98

2489530.02L00

由上表和图可知，NPV<0的累计概率在0.40和0.44之间，利用线性插值公式近似计算

可求出NPV小于零的概率：

P(NPV20)=1-0.415=0.585

计算结果表明，投资20万元的项目期望NPV高达4。8万元，但艰难较大，因其NPV<0

的概率已高达0o415。

【例】某投标单位经研究决定参预某工程投标。经造价工程师估价，该工程成本为1500万元，

其中材料费占60%o拟议高、中、低三个报价方案的利润分别为10%、7%、4%,根据过去

类似工程的投标经验，相应的中标概率分别为0o3、0o6、0o9.编制投标文件的费用为5

万元。该工程建设单位在招标文件中明确规定采用恒定总价合同。据估计，在施工过程中材

料费可能平均上涨3%,其发生的概率为0.4.

问题:该投标单位应按哪个方案投标？相应的报价为多少？

15

解：1.计算各投标方案的利润

(1)投高标材料不涨价时的利润：1500X10脏15。万元

(2)投高标材料涨价时的利润：150-1500X60%X3%=123万元

(3)投中标材料不涨价时的利润：1500X7%=105万元

⑷投中标材料涨价时的利润：105—1500X60%X3%=78万元

(5)投低标材料不涨价时的利润:1500X4%=60万元

(6)投低标材料涨价时的利润：60—1500X60%X3%=33万元

将结果列于下表：

方案效果概率利润(万元)

好0.6150

回标

差0.4123

好0.6105

中标

差0.478

好0.660

低标

差0.433

2.画出决策树，标明各方案的概率和利润。

139.2

3.计算各机会点的期望值好（0.6）

150

点⑤150X0.6+123X。中,标=1（309

差(0.4)

点②139o2r7^38o26123

点⑥105X0、62j8为n2(万元)

不中标(0.7)

点③94<,0。6-5XOo4=54。52（万元）

图60X0.6+33X0.4=49。2（万元9）4.2好（0.6）

点⑦105

点④

中差（0.4）

4决178

3

曳投中标。

不中标(0.4)

相敢I勺报价为1500X（1+7%）+5=1610：万元）

49.2好（0.6）

二、练习60

一。某项d盟计

KJ年产Wl（5a每7环学缴臂。阴元,f固军成本1500万元，

每吨产品的可变4r已知当每吨产品的可变成本方500元时，项目前好盈亏平衡,求

项目的BEP生产能力利用率，勺抗风险能力中。标91)

解：由下式

所以P=780元/吨

又由

所以项目的抗风险能力较强

二.若某项目的IRR随投资的变化如下表，试求:

16

Io1RR对投资的敏感性曲线。

2.若iC=15%,投资由2000万元增加到多少时,项目变为不可行?

投资(万元)16001800200022002400

IRR49%37%25%13%