2019年高考数学文科一轮复习课时作业42直线平面垂直的判定和性质

课时作业42直线、平面垂直的判定和性质一、选择题1．(2018·新疆第二次适应性检测)设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中正确命题的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：对于①，因为平行于同一个平面的两个平面相互平行，所以①正确；对于②，当直线m位于平面β内，且平行于平面α，β的交线时，满足条件，但显然此时m与平面β不垂直，因此②不正确；对于③，在平面β内取直线n平行于m，则由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，直线m可能位于平面α内，显然此时m与平面α不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的序号是①③，选A.答案：A2．(2017·新课标全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CDA．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．故选C.答案：C3．(2018·银川一模)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF解析：由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A.答案：A4．(2018·贵阳模拟)如图，在正棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B5．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．答案：B6．(2018·太原二模)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.答案：D二、填空题7．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确命题的个数是________．解析：如图所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.答案：38．(2018·湖北武汉武昌调研)在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：如图，若AC⊥BD，已知CF⊥BD，AC∩CF＝C，那么BD⊥平面ACF，则BD⊥AF，这与平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以①不正确；当点A在平面BCD内的射影落在线段BC上时，AB⊥CD，所以存在某个位置使AB⊥CD；所以②成立；若AD⊥BC，已知BC⊥CD，CD∩AD＝D，所以BC⊥平面ACD，所以BC⊥AC，那么AB>BC，这与已知矛盾，所以③不正确．答案：②9．(2018·河南安阳二模)如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为________．解析：如图所示，设AC、BD相交于点O，连接SO，EM，EN.对于①，由S－ABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，MN，EM⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故①正确．对于②，易知EP与BD是异面直线，因此②不正确．对于③，由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此③正确．对于④，由①同理可得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此，当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即④不正确，故选A.答案：①③三、解答题10．(2017·新课标全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解析：(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.BO∩DO＝O，从而AC⊥平面DOB，BD⊂平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的eq\f(1,2)，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的eq\f(1,2)，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.11．(2018·湖南湘中教研)如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；(2)求该组合体QPABCD的体积．解析：(1)证明：因为QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为AB⊥BC，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.(2)平面QDB将几何体分成四棱锥B－PADQ和三棱锥Q－BDC两部分，过B作BO⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以PA⊥BO，又AD⊥OB，PA∩AD＝A，所以BO⊥平面PADQ，即BO为四棱锥B－APQD的高，因为BO＝eq\r(3)，S四边形PADQ＝3，所以VB－PADQ＝eq\f(1,3)·BO·S四边形PADQ＝eq\r(3)，因为QD⊥平面ABCD，且QD＝2，又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝eq\f(\r(3),3)，所以VQ－BDC＝eq\f(1,3)·S△BDC·QD＝eq\f(2\r(3),9)，所以组合体QPABCD的体积为eq\r(3)＋eq\f(2\r(3),9)＝eq\f(11\r(3),9).[能力挑战]12．(2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边