江苏省南京市2024-2025学年高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

江苏省南京市2024-2025学年高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B． C． D．2．已知圆与圆，则圆与圆位置关系（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含3．记Sn为等差数列an的前n项和，若公差d=2，则2A．−6B．2C．4D．64．若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（

）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）6．已知过点且斜率为k的直线l与圆相交于两点．则为（

）A．3 B．5 C．7 D．与k有关7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列求导运算中正确的是（

）A． B． C． D．10．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．最短时，弦长为C．最短时，弦直线方程为D．直线过定点11．在数列中，其前项和是，则下列正确的是（

）A．若，则B．若则C．若则D．若，则三、填空题（本大题共3小题）12．在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为.13．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：．（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．14．过点的动直线与圆交于两点，过点分别作圆的切线，若与交于点，则的最小值．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点分别为，求：(1)边中线所在的直线方程(2)的外接圆的方程16．已知为实数，函数．(1)若，求实数的值(2)若时，求函数在处的切线方程；17．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．18．已知正项数列的前项和为，，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．19．已知椭圆和双曲线，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点．设是椭圆的右顶点，记直线，的斜率分别为，，直线，与双曲线的另一个交点分别为，，．(1)求的值；(2)求证：直线过定点．

答案1．【正确答案】A【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.【详解】由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，即，所以所求直线为.故选：A.2．【正确答案】B【分析】求出两个圆的圆心距，再根据圆心距与两圆的半径之间的关系判断两圆的位置关系.【详解】圆C1：x2+y2=4的圆心坐标为C1（0，0），半径r1=2，圆C2：（x–3）2+（y+4）2=9的圆心坐标为圆C2（3，–4），半径r2=3．∵|C1C2|=5=r1+r2，∴圆C1与圆C2的位置关系是为外切．故选B．本题考查了判断两圆的位置关系，当圆心距等于两圆的半径之和时，两圆外切.3．【正确答案】D【详解】因为Sn为等差数列an的前n项和，公差d=2所以2S34．【正确答案】A【分析】根据题意求出双曲线与双曲线的渐近线，从而得到，再结合双曲线的方程即可求得其离心率.【详解】对于双曲线，其渐近线为，即，对于双曲线，其渐近线为，即，因为双曲线与双曲线的渐近线相同，所以，即双曲线，设双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，半焦距为，则，，，即，，所以双曲线的离心率为.故选：A.5．【正确答案】B【分析】先用两点距离公式求出，再求出直线的方程，再利用点线距离公式求出点到的距离，再用三角形的面积公式代入求解即可.【详解】根据题意，设点的坐标为，则，故直线为：，即，故到直线上的距离为：，又因为，所以由得，解得或，即为或.故选：B.6．【正确答案】C【详解】依题意，设过点且斜率为k的直线l的方程为，设，联立，消去，得：，此时，显然有解，故，，所以.故选：C.7．【正确答案】C【分析】求出直线与曲线相切时实数的值，再结合图象，即可得到答案；【详解】化简方程可得，方程对应的曲线为以为圆心，以2为半径的圆在轴上方的部分（含点,）；当直线与半圆相切时，，，所以，当直线过点时，，所以实数的取值范围为，故选：C.8．【正确答案】D【详解】由，得，设切点为，则切线斜率，即切线方程为，又切线过点，则，整理可得，解得或或，则切线斜率为或或，故选：D．9．【正确答案】AB【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确，对于选项B，因为，所以选项B正确，对于选项C，因为，所以选项C错误，对于选项D，因为，所以选项D错误，故选：AB.10．【正确答案】ABD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得，由此可知AB正确；设，可知方程为：，由可求得点坐标，由此可得方程，知C正确；将代入方程，根据直线过定点的求法可知D正确.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，对于AB，四边形的面积，则当最短时，四边形的面积最小，点到直线的距离，，此时，A正确；又，此时，B正确；对于C，设，，，则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，又为两切线交点，，则两点坐标满足方程：，即方程为：；当最小时，，直线方程为：，由得：，即，方程为：，即，C错误；对于D，由C知：方程为：；又，即，方程可整理为：，由得：，过定点，D正确.故选：ABD.结论点睛：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为：；过圆外一点作圆的两条切线，切点弦所在直线方程为.11．【正确答案】BCD【分析】A根据的关系判断即得；B由递推式可得即可求通项公式；C构造数列即可求通项；D利用裂项相消法即得.【详解】A：时，，而，故错误；B：由题设，，，，，…，则，故正确；C：由题设，，而，则，即，故正确；D：由，可得，故正确.故选：BCD.12．【正确答案】【详解】设A关于直线的对称点为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立.而，解得，故，故直线，故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即.故答案为.13．【正确答案】（答案不唯一）【分析】根据数列需要满足的条件，可写出答案.【详解】由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，故14．【正确答案】【详解】设，圆的圆心，如图所示：则为直径的圆的方程为，即，由平面几何的知识知直线的方程为圆与圆的公共弦所在直线方程，从而把圆和圆的方程相减得直线的方程为，在直线上，代入得点在直线上，则的最小值为圆心到直线的距离，故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设的中点为，则所在直线的斜率为，则边所在直线的方程为，即．（2）设的外接圆的方程为，由，解之可得故的外接圆的方程为．16．【正确答案】(1)，(2)切线方程为【详解】（1）函数的定义域为，，因为，解得.（2）若时，则，，，，所以在处的切线方程为，即.17．【正确答案】(1)，(2)或或【详解】（1）由抛物线C：过点，可得，解得.所以抛物线C的方程为，其准线方程为.（2）根据题意，易知点不在抛物线上.①当直线l的斜率不存在时，符合题意；②当直线l的斜率为0时，符合题意；③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，由，得，由，得，故直线l的方程为.综上直线l的方程为或或.18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系，求解通项公式;（2）利用错位相减法求解