福建省莆田市2024-2025学年高二上学期期中数学检测试题（含解析）

福建省莆田市2024-2025学年高二上学期期中数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．3．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（

）A．3 B． C． D．5．点P在直线上运动，，则的最大值是（

）A． B． C．3 D．46．已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．8．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．方程表示的曲线中，可以是（）A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线10．已知圆，直线.则以下命题正确的有（

）A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（

）

A．B．直线与平面所成角的正弦值为C．点到直线的距离是D．异面直线与所成角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．圆与圆相交所得公共弦长为．13．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点1,2，则该双曲线的标准方程为．14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知空间三点，设.(1)求和的夹角的余弦值；(2)若向量与互相垂直，求的值.16．直线经过两直线和的交点．(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线与圆相切，求直线的方程．17．某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.(1)求圆C的方程.(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：的面积为定值；②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

答案1．【正确答案】A【详解】设直线的倾斜角为，因为该直线的斜率为，所以，所以，故选：A2．【正确答案】B【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果.【详解】，点A关于y轴对称的点为，，点B关于平面对称的点为.则.故选：B.3．【正确答案】A【详解】当时，直线与平行；当直线与直线平行时，有且，解得，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：A.4．【正确答案】C【详解】由圆的方程，得圆心，半径，如图，切线长，当最小时，最小，最小值为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值.故选：C.

5．【正确答案】A【详解】设关于的对称点为，则，解得，即故,,当且仅当，三点共线时，等号成立.故选：A6．【正确答案】B【详解】

，，，即，整理得，即，等号两边同时除以得，即，求得，，，故选：B.7．【正确答案】A【详解】设，则，直线的斜率，把两点代入椭圆方程得：，，两式作差得：，即，又因为，即，解得：，所以椭圆的标准方程为.故选：A8．【正确答案】D【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案.【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线l距离为，因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.故选D.9．【正确答案】AB【详解】当，且，即时，方程表示椭圆，当即时，方程表示双曲线，故AB正确；要想表示圆，则无解，故C错误；直线为一次曲线，故D错误.故选：AB10．【正确答案】CD【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D.【详解】对于A，直线，即，由，解得，故直线过定点，故A错误；对于B,圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，故直线方程为：，即，故D正确.故选：CD11．【正确答案】BCD【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，则，A错误；B选项，平面的法向量为，，设直线与平面所成角的大小为，则，B正确；C选项，，点到直线的距离为，C正确；D选项，，设异面直线与所成角大小为，则，D正确.

故选：BCD12．【正确答案】【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解.【详解】记圆，圆，两个方程作差可得，，所以两圆公共弦所在直线方程为，圆心到直线的距离为，所以公共弦长为.故答案为.13．【正确答案】【详解】椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，根据双曲线的定义可得：，解得，又因为，所以，所以双曲线的标准方程为.故14．【正确答案】【详解】设Px,y，因为点，，，所以，即，所以，可得圆心，半径，由圆可得圆心，半径，因为在圆上存在点满足，所以圆与圆有公共点，所以，整理可得：，解得，所以实数的取值范围是，故答案为.15．【正确答案】(1)(2)2或【详解】（1）由点，得，，所以，所以和夹角的余弦值为.（2）由（1）可得，，因为向量与互相垂直，则，由整理可得，解得或，所以的值为2或.16．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）联立两直线和，解得，即交点坐标为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，根据题意得：圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为.综上：直线的方程为或.17．【正确答案】(1)（或）(2)小次车会进入安全预警区，理由见解析【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解.（2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离与半径作比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案.【详解】（1）由题意得,,设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点,所以解得所以圆C的方程为（或）.圆C化成标准方程为,故圆心为C,半径,因为圆C到直线的距离，所以直线与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区.18．【正确答案】(1)证明见详解(2)（i），（ii）存在点，.【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是中点，所以，，又，，，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.（2），，又，，，则，又平面平面，平面平面，平面，，又，所以，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，（i）设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，，，又平面的一个法向量为，，所以二面角的余弦值为.（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，设，，，，由（i）知平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，则，解得或，又，所以，即存在点到平面的距离为，且.19．