2024-2025学年广东省珠江市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省珠江市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，则复数的虚部为（）A． B． C． D．2．一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（）A．14 B．15 C．23 D．253．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（

）A． B．C． D．4．已知随机事件和互斥,且,,则等于（

）A． B． C． D．5．已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（

）A． B． C． D．6．双曲线与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．8．椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（

）A．平面B．平面C．平面平面D．点E到平面的距离为10．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（

）A．若，则的面积为B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大、最小值分别为和11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（

）A．点在曲线上B．点在上，则C．点在椭圆上，若，则D．过作轴的垂线交于两点，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知点在角的终边上，则.13．若为偶函数，则实数.14．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为；的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点．(1)求圆M的标准方程；(2)经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程．16．已知三角形的内角所对的边分别为，若，且.(1)若，求；(2)点在边上且平分，若，求三角形的周长.17．椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点．(1)求椭圆C的方程；(2)若面积为3，求直线的方程．18．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点，(1)证明：平面PAB；(2)若直线PF与平面PAB所成的角为，①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.②平面ADE将四棱锥分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积.19．已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点.（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；（ii）求的面积的取值范围.

答案1．【正确答案】C【详解】因为，所以，所以，所以复数的虚部为.故选.2．【正确答案】D【详解】将数据按从小到大的顺序排列可得11，14，16，17，19，23，27，31，共8个数据，又，所以该数据的百分之七十五分位数是第6个和第7个数据的平均数，即.故选.3．【正确答案】C【详解】延长交于点，则点为的中点，因为，所以，所以，所以，所以，因为，，，所以，故选：C.4．【正确答案】B【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案.【详解】因为和互斥,所以,又,所以,因为,所以.故选:B.5．【正确答案】A【详解】由题意得，所以，又直线的方向向量为，则，所以，设直线与直线所成的角为，则，则，所以点到直线的距离为．故选：A．6．【正确答案】A由题意知，设双曲线的方程为．故选A．7．【正确答案】A【详解】根据题意设，代入椭圆方程可得；两式相减可得，整理可得；又因为的中点坐标为，可得；因此过两点的直线斜率为，又和的中点在直线上，所以，即，可得；又易知，且，计算可得；所以椭圆的方程为，代入的中点坐标，得，则其在椭圆内部，此时直线与椭圆相交两点.故选A.8．【正确答案】B【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，，又，，，，，则，即线段的长度的取值范围是.故选：B.9．【正确答案】ACD【分析】检验所给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；求出点到平面距离判断D作答.【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，对于A，，显然，即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，即有不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，B错误；对于C，，而，显然，，即平面，于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；对于D，，，设平面的一个法向量，则，令，得，又，所以点E到平面的距离，D正确.故选：ACD10．【正确答案】BCD【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，所以的面积为，故A错误；B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；C选项：由于，所以当最小即时，取得最大值，故C正确；D选项：因为，又，则的最大、最小值分别为和，当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD11．【正确答案】ACD【分析】对选项A，根据“双纽线”定义即可判断A正确，对选项B，根据“双纽线”定义得到，再计算即可判断B错误，对选项C，根据“双纽线”定义和椭圆定义即可判断C正确，对选项D，设，根据勾股定理得到，再解方程即可判断D正确.【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，，故B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，故C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选ACD.12．【正确答案】【详解】由点在角的终边上可得，，则，故答案为.13．【正确答案】0【分析】由求出的值，然后再检验即可.【详解】因为定义域为，关于原点对称，而函数为偶函数，所以由得，解得.当时，，符合题意.故答案为.14．【正确答案】【详解】①依题意，椭圆与双曲线的焦距均为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得：，由椭圆的定义得：，联立解得，又，由余弦定理得：，即，整理得：，即，于是，，当且仅当时取等号，所以的最小值为；②为的内心，则为的角平分线，由，得，同理：，则，即，因此，而，即，则，为的内心，三点共线，即为的角平分线，延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为，由，得，即为的角平分线，则，即为的角平分线，则有，又，于是，即，而，即，则，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故；.15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）圆M的圆心在直线上，设，则，解得，即，圆的半径为，圆M的标准方程为；（2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆M截得的弦长为，不符，舍去；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，，解得或，直线的方程为或.16．【正确答案】(1)(2)6【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果；（2）利用面积关系可得，结合列式求解即可.【详解】（1）由正弦定理可知，则.可得，整理可得.由余弦定理知，且，可得，由知.可知为直角三角形，所以.（2）点在边上且平分，可知，则，即，可得.①又因为，即，可得.②①代入②得到，解得或（舍去），所以的周长为.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由已知可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.（2）当直线与轴重合时，不符合题意，设直线的方程为，联立，可得，，设，由韦达定理可得，，则，则，解得，所以直线的方程为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)①；②【详解】（1）取PB中点M，连接AM，EM，为PC的中点，，，又，，，，四边形ADEM为平行四边形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，平面PAB，取AB中点G，连接FG，则，平面PAB，，，，，又，，，①如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面PCD的一个法向量，，则，取，则，平面PAB的一个法向量可取，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为，，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.②如图，，从而AD垂直于AM，四边形AMED为矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，又AD垂直于PM，从而PM垂直于平面AMED.所以四棱锥体积，又四棱锥的体积为，所以五面体ABCDEM为.19．【正确答案】(1)(2)（i）；（ii