2024-2025学年重庆市涪陵区高二上学期期中数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市涪陵区高二上学期期中数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知，则A，B两点间的距离为（

）A． B． C．12 D．243．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（

）A．8 B．9 C．10 D．204．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（）A． B．C． D．5．圆与圆的公切线有（

）条A．1 B．2 C．3 D．46．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（

）

A． B．C． D．7．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A． B．C． D．8．已知圆：，点在椭圆：运动，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间向量，，，则（）A． B．C． D．是共面向量10．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（

）A．与的距离为B．当点为的中点时，C．当点在的中点时，点到平面的距离为D．点到直线的距离的最小值为11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（

）A．若的周长为6，则B．若当时，的内切圆半径为，则C．若存在点，使得，则D．若的最大值为2b，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是．13．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.(1)求边所在的直线方程；(2)求的面积.16．如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，，求平面和夹角的余弦值.17．已知，，圆是以线段为直径的圆，圆．(1)求圆的方程；(2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长．18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．(1)求证：面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．已知椭圆的左、右顶点分别为且焦距为2，上顶点为，且直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线不经过点且与相交于两点，(i)证明：直线过定点；(ii)设为①中点关于轴的对称点，过点作直线交于椭圆于两点，且，求四边形面积的取值范围.

答案1．【正确答案】B【详解】直线的方程为，即，所以直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.故选：B.2．【正确答案】B【详解】因为，所以，故选：B3．【正确答案】D【详解】为椭圆的两个焦点，，的周长为．故选：D．4．【正确答案】A【详解】因为圆经过点，将点代入圆的方程可得.即，所以，则圆的方程为.对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.根据斜率公式，这里，，则.因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.已知，所以切线的斜率.又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），可得切线方程为.整理得.故选：A.5．【正确答案】B【详解】由题可得圆圆心，半径为2；圆圆心2,3，半径为3.则两圆圆心距为，注意到，则两圆相交，故两圆有2条公切线.故选：B6．【正确答案】B【详解】∵点为中点，∴，∴.故选：B.7．【正确答案】D【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：D8．【正确答案】A【分析】设，依题意可得切点弦方程为，取的中点，连接，则，利用点到直线的距离公式及的范围计算可得.【详解】设，设切线上任意一点为，则，所以，即，即切线的方程为，同理可得切线的方程为，所以且，所以直线的方程为，取的中点，连接，则，又，即，所以，因为，所以，则，所以.故选A.9．【正确答案】ABD【详解】由向量，可得，，所以A、B正确；设，可得，所以，此时方程组无解，所以向量与向量不共线，所以C错误；设，可得，所以，解得，所以共面，所以D正确.故选：ABD.10．【正确答案】BC【详解】对于A选项，连接，因为平面，平面，则，同理可得，所以，与的距离为，A错；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，对于B选项，当点为线段的中点时，，此时，，B对；对于C选项，当点在的中点时，，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，可得y=−1，，所以为平面的一个法向量，此时，点到平面的距离为，C对；对于D选项，设，其中，，所以，点到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为，D错.故选：BC.11．【正确答案】ABD【详解】对于A,由椭圆，可得，因为的周长为6，所以，解得，因为，所以，解得，故A正确；对于B，由，可得，当时，由余弦定理可得，则，解得，所以，又的内切圆半径为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正确；对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，所以，所以，解得，所以存在点，使得，则，故C错误；对于D，设，，又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，故时取最大值，所以，解得，故D正确.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】直线即，所以平行直线与直线的距离.故13．【正确答案】【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，故和BN的夹角的余弦值为.故14．【正确答案】【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，，由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，则，即，且，因为，则AF2=2在中，由余弦定理可得，即，解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为.15．【正确答案】(1)(2)15【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为，即.（2）B，C两点间的距离为，点A到直线BC的距离，所以的面积为.16．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）若为中点，连接，又为棱的中点，，所以，且，即是平行四边形，所以，面，面，则面.（2）由平面，，构建如图所示空间直角坐标系，由，，，则，显然面的一个法向量为，所以，若面的一个法向量为，则，令，则，所以平面和夹角的余弦值为.17．【正确答案】(1)(2)相交，【详解】（1）因为，，所以的中点为，且，因为圆是以线段为直径的圆，即圆心为，半径，所以圆的方程为；（2）圆的圆心，半径；圆：的圆心，半径；又，所以，所以两圆相交，则两圆方程作差得到公共弦方程为.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，或【详解】（1）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，,,,，且平面平面.（2）由（1）得，，,异面直线与所成角的余弦值为．（3）由（1）得,．设平面的法向量n=x,y,z由得，，令，则，设，．,整理得，解得或存在点或．19．【正确答案】(1)；(2)（i）;(ii).【分析】（1）根据直线与的斜率之积得到，故，结合焦距得到，，得到椭圆方程；（2）（i）设直线,椭圆方程整理为,利用直线的方程将椭圆的方程齐次化，然后转化为关于斜率的方程，，此方程的两根为.利用椭圆的性质，结合已知条件得到，进而利用韦达定理求得，从而得到直线经过定点；（ii）设，利用弦长公式求得，同理得,利用由对角线及其夹角所表示的四边形的面积公式得到四边形面积关于的表达式，进而进行变换，利用基本不等式和函数单调性求得其面积的取值范围.【详解】（1）由题意有，，设，，化简得，结合，可得，由椭圆焦距为2，有，得，，椭圆E的标准方程为；（2）(i)由题意可知直线不过椭圆的右顶点，故可设直线①,椭圆方程整理为,整理得：②,联立①②得：③，设,这两点坐标都满足方程③，,方程③两边同除以得：,即，此