2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二上学期12月联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（

）A．8 B．9 C．8.5 D．9.52．若直线是圆的一条对称轴，则m的值为（

）A． B．1 C． D．23．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．44．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（）A．5 B．6 C．9 D．105．若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（

）A． B． C． D．6．若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（

）A． B． C．1 D．97．孪生素数（素数是只有1和自身因数的正整数）猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是（

）A． B． C． D．8．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=B．“”是“共线”的充要条件C．若共线，则与所在直线平行D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（

）．A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥11．如图，正方形的边长为2，为边的中点，把和分别沿，折起.使得，两点重合为一点.下列四个命题正确的是（

）A．平面B．直线与直线所成的角为C．二面角的大小为D．点到平面的距离为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，，则.13．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，，．(1)当时，若向量与垂直，求实数和的值；(2)若向量与向量，共面，求实数的值．16．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.(1)求圆C的方程：(2)若直线与圆的交点为两点，求.17．溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)求甲队总得分为1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.18．椭圆的中心是原点，焦点为，短轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)如果过点的直线与椭圆相交于点两点，且，求直线的方程.19．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】C【详解】由题意可得：，解得：，将这组数据从小到大的顺序排列为，因为为整数，所以这组数据的75百分位数为，故选：C.2．【正确答案】B【详解】由已知圆的标准方程是，圆心坐标为，所以，．故选：B．3．【正确答案】A【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．4．【正确答案】C【详解】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆，所以，解得，故选：C.5．【正确答案】D【分析】设的平均值为，方差为，进而根据公式列式求解即可.【详解】解：设的平均值为，方差为，因为样本的平均值是5，方差是3，所以，因为样本的平均值是9，标准差是b，所以，，所以故选：D6．【正确答案】A【详解】点关于平面对称的点为，关于轴对称的点为，所以，，故．故选：A．7．【正确答案】D【分析】根据素数的定义，可知不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，利用列举法列出在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的所有样本，记事件表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，由孪生素数的定义可得出事件包含的样本点，最后利用古典概型的概率求法求出结果.【详解】解：不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，则在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的样本空间：，共有28个样本点，记事件表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，则事件包含的样本点有，，，，共4个，故抽取的2个数能够构成李生素数的概率是．故选：D．8．【正确答案】B【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.9．【正确答案】BCD【详解】对于A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，故A正确；对于B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，故B错误；对于C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，故C错误；对于D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，故D错误．故选BCD.10．【正确答案】ABC【分析】根据已知条件，分析和时所有的基本事件的结果，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可.【详解】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生，由互斥事件定义，与不互斥，A正确；B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种，，，，，所以与不相互独立，B正确；C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情况，，，，，所以与相互独立，C正确；D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生，由互斥事件定义，与不互斥，D错误.故选：ABC11．【正确答案】AC【分析】作出图形，根据线面、线线位置关系可判断A,B，找到二面角的平面角，根据长度计算即可知C对错；然后作，根据计算即可.【详解】如图，由平面图形，可知，，又,平面∴平面，又平面可得∴A对，B错；取的中点，连接，，则，，∴为二面角的平面角，，，，∴，C对；由C选项知平面，∴平面平面，为交线，在平面中作，交于，则平面，由，求得，∴点到平面的距离为，D错.故选：AC12．【正确答案】2【详解】因为，所以,因为，所以,即，解得.故答案为:2.13．【正确答案】1【分析】依题意求得，再利用点到平面的距离公式即可得解.【详解】因为，点，所以，又的一个法向量为，所以到平面的距离为.故1．14．【正确答案】【详解】如下图所示：

因为，，所以，可得，即，可得；又在中，，由椭圆定义可得，即，所以，可得.故15．【正确答案】(1)实数和的值分别为和；(2).【详解】（1）由，得，解得，向量，，则，由向量与垂直，得，则，当时，有，矛盾；当时，有，解得，所以实数和的值分别为和.（2）由向量与向量，共面，设，则，即，解得，所以实数的值为.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，所以弦的垂直平分线的方程为，即，与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；（2）由（1）知，圆心到直线的距离为圆的半径.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件B：甲队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，其概率.∴甲队总得分为1分的概率为.（2）记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D.事件C即甲队三人中有2人答对，剩余1人答错，∴事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，∴.由题意，事件C与事件D相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.18．【正确答案】(1)(2)或.【详解】（1）由题意得，椭圆焦点在轴上，设方程为.因为短轴长为，离心率为，所以.又因为，故.所以曲线的方程为.（2）由（1）可知点在椭圆外，所以过该点的直线的斜率必然存在.可设直线的方程为，联立，得，，设，由根与系数的关系可知：，.由得，即，解得：，符合，所以直线的方程为或.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，.【详解】（1）因为为正方形，所以，因为，且，平面AND，平面BMC，所以平面平面BMC，又平面AND，所以平面.（2）因为平面平面，且平面平面，，