2024-2025学年浙江省温州市高二上学期11月期中联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年浙江省温州市高二上学期11月期中联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的斜率是（

）A． B．1 C． D．2．在斜三棱柱中，（

）A． B． C． D．3．已知圆的方程为：，则圆心坐标为（

）A． B． C． D．4．已知空间向量，，若，则（

）A．1 B．-2 C．2 D．5．已知直线与直线平行，则（

）A．±2 B．2 C．-2 D．6．直线：，与圆C：相交弦中最短的弦长为（

）A．5 B．6 C．8 D．107．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．8．已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆C：，直线：，则（

）A．直线恒过定点B．直线与圆C有两个交点C．当时，圆C上恰有三个点到直线的距离等于1D．圆C与圆恰有三条公切线10．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（

）A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点11．如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（

）A．若，，则点P的轨迹长度为1B．若，则C．若，，则D．若，时，直线与平面所成的角为，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为.13．直线被椭圆截得的弦长为.14．已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，中心为原点，左焦点，离心率为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)已知点，若P是椭圆上的动点，求线段中点M的轨迹方程.16．某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响.(1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值；(2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？17．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程；(3)已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值.18．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.

(1)若E为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由.19．定义：P，Q为一个几何系统中的任意两点，则为这两个点的最大距离，例如，某个几何系统由一个圆构成，则为此圆的直径.(1)已知为边长为2的正三角形，求由的外接圆构成的几何系统的；(2)已知为直角边为2的等腰直角三角形，其中，求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的；(3)已知正四面体的棱长为2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和的外接圆所构成的几何系统的.（此小题只要求给出答案，不需过程.）

答案1．【正确答案】B【详解】直线的斜率是1.故选：B.2．【正确答案】C【详解】三棱柱中，.故选：C.3．【正确答案】D【详解】易知圆方程可化为，因此圆心坐标为.故选：D4．【正确答案】C【详解】向量，，由，得，所以.故选：C5．【正确答案】A【详解】直线与直线平行，时不合题意，不等于0时，则，所以.故选：A6．【正确答案】B【详解】直线：过定点，圆C：的圆心，半径，则，点在圆内，当且仅当时，直线与圆相交所得弦长最短，所以最短的弦长为.故选：B7．【正确答案】D【详解】不妨设，椭圆长半轴长为，双曲线实轴长为，如下图所示：

根据椭圆定义可知，由离心率定义可得，解得；又，可得，解得；由易知，可得；又，可得，因此可得双曲线的方程为.故选：D8．【正确答案】C【详解】由点，，得，由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为，由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为，直线为“两全其美线”，当且仅当直线与双曲线的两支相交，对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是；对于B，直线与双曲线左支无公共点，B不是；对于C，由，知直线过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是；对于D，由，知直线过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域，直线与双曲线无公共点，D不是.故选：C9．【正确答案】ABC【详解】圆C：的圆心，半径，对于A，直线：，由，解得，直线过定点，A正确；对于B，，点在圆内，直线与圆C有两个交点，B正确；对于C，当时，直线：，点到直线的距离，，则圆C上恰有三个点到直线的距离等于1，C正确；对于D，圆的圆心，半径，，两圆相交，有2条公切线，D错误.故选：ABC10．【正确答案】AD【详解】对于A，双曲线的渐近线为，A正确；对于B，椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，B错误；对于C，椭圆中，长半轴长，半焦距，离心率，C错误；对于D，由，解得，此方程组有4个解，因此椭圆和双曲线有4个公共点，D正确.故选：AD11．【正确答案】BCD【详解】连接，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，则，故，对于A，若，，则，因为，所以，所以点P的轨迹长度为，对于B，，若，则，所以，故B正确；对于C，若，，则，，，设平面的法向量为n=x,y,z，则，故可设，所以点到平面的距离，在中，，则，所以，故C正确；对于D，若时，，，则，设，则，则，由于函数在上单调递减，在上单调递增，，所以，所以，，，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.12．【正确答案】【详解】因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的渐近线方程为，故13．【正确答案】【详解】由，得，解得或，则或，所以直线被椭圆截得的弦长为.故答案为.14．【正确答案】2【详解】如下图所示：由可得；即,可得，即；又，由空间向量基本定理可得在平面内存在一点，使得；所以，，可得，由三棱锥的体积为3，可得三棱锥的体积即为三棱锥的体积，所以三棱锥的体积.故215．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，椭圆半焦距，由离心率为，得椭圆的长半轴长，因此该椭圆的短半轴长，所以该椭圆的标准方程为.（2）设，由M为线段的中点，得，而点是椭圆上的动点，则有，即，所以线段中点M的轨迹方程是.16．【正确答案】(1)；(2)小时.【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆，要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大，由，，则，知，则最大.（2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为，该直线与圆相交的弦长为，即此人被台风影响持续时间为.

17．【正确答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）依题意，双曲线焦点在轴上，半焦距，实半轴长，则虚半轴长，所以双曲线C的标准方程为.（2）显然直线不垂直于轴，否则弦中点纵坐标为0，设直线的方程为，即，设，由消去得：，依题意，，由M为的中点，得，解得，此时方程为，，符合题意，所以直线的方程为.（3）由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内，又点在双曲线右支上，即，因此，当且仅当是线段与双曲线右支的交点时取等号，所以的最小值为.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)存在点，或，证明见解析.【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点，

，，底面四边形是矩形，为棱的中点，，，则，，故四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，可得平面.（2）在棱上存在点，且或，证明如下，在等边中S在平面上的射影为中点P，所以面，则是四棱锥的高.设，则，结合，知矩形的面积，所以.以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

故，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，.由题意，整理得，解得或，所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为.19．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意可知最大距离即为的外接圆的直径，可以直接由正弦定理计算得到.（2）可如图建立坐标系：以点为原点，以，为坐标轴，可以得出三个圆的圆心分别为，，，可求出圆心之间最大距离为，再由