2024-2025学年上海市嘉定区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市嘉定区高二上学期12月月考数学质量检测试卷一、填空题（1-6题每题3分，7-10题每题4分，共34分）1.过点且与直线垂直的直线一般式方程为______.【正确答案】【分析】根据垂直关系设出直线方程，然后将点的坐标代入即可求解.【详解】由题意，设所求直线方程为，因为该直线过点，所以，解得，所以所求直线为.故2.椭圆的离心率为______.【正确答案】【分析】由椭圆方程得到，的值，然后由求得的值，进而求得离心率．【详解】根据椭圆的方程可得：，，故，所以椭圆的离心率．本题主要考查根据椭圆标准方程求出，，，由椭圆的几何性质求离心率，属于基础题．3.若两条直线和互相平行，则_____.【正确答案】【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再代入检验即可.【详解】因为直线和互相平行，所以，解得或，当时，直线和重合，不符合题意；当时，直线和互相平行，符合题意.综上可得.故4.表面积为的球的体积是_____.【正确答案】【分析】设球的半径为，根据表面积求出，再由球的体积公式计算可得.【详解】设球的半径为，则，解得，所以球的体积.故5.一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于_____.【正确答案】【分析】利用已知条件，求出椭圆的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，得解．【详解】因为底面半径为的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为，长半轴为，，，椭圆的焦距为；故．6.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.【正确答案】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】由题意，设母线长为，∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，∴该圆锥的母线长为.故答案为.7.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为______.【正确答案】【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积.【详解】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以，所以的高是，所以的面积是.故答案为.8.在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为______．【正确答案】【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接，过作,垂足为.因为平面，平面，所以平面平面.又因为平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因，所以，所以，在中，因为，所以，所以.故答案为.9.已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中一个动点满足，则的取值范围是_____.【正确答案】【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设，再将转化成即可计算求解.【详解】如图，O为中点，则由题意且，所以.因为，则即，所以点M在以O为球心，半径为的球上，设，则，所以.故答案为.10.已知斜边长为的等腰直角在平面上的投影为等边，则的面积为_____.【正确答案】##【分析】作出示意图，设等边边长为a，由几何图形性质和投影定义设，进而得，从而由求出边长，再由正三角形面积公式计算即可得解.【详解】由题意可知如图放置，其投影为，则才可为正三角形，由题意可得，，可设，将平移至位置，则由题意可得，，又，所以故可设，则，所以，故，所以由得，故，所以等边面积为.故答案为.关键点睛：本题解题的关键1是先作出示意图，由几何图形性质和投影定义得到，进而得正三角形边长为，关键2是利用勾股定理求出边长，进而由面积公式即可计算求解.二、单选题（11-12题每题3分，13-14题每题4分，共14分）11.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角.【详解】因为，即，所以斜率为，设直线倾斜角为，则，所以.故选：D.12.a和b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行【正确答案】D【分析】根据异面直线的定义结合平面的公理，一一判断各选项，即可得答案.【详解】对于A，若选一点与直线a确定一平面恰好与直线b平行，此时a在这个平面内，A不正确；对于B，结合A的分析，若选的点在A中所确定的平面上时，无法作一条直线与a、b都相交，B不正确；对于C，若过不在a，b上的任意一点，有直线，则，与a，b异面矛盾，C不正确；杜宇D，在a上任取一点M，则过点M且与直线b平行的直线唯一，则该直线与直线a所在平面与直线b平行．而两相交直线所确定的平面唯一，该平面唯一．D正确，故选：D13.已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是的一个方向向量，是的一个法向量.则反射光线的一个方向向量可以表示为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设反射光线的方向向量为（，x∈R，），首先排除A，再根据推导出，再代入检验B、C、D.【详解】如图，设反射光线的方向向量为（，x∈R，），显然与不共线，又，故排除A；由题意，且，所以，即，即，显然，所以，又，，所以，所以，对于B：，显然恒成立，故符合题意，故B正确；对于C：，不恒成立，故C错误；对于D：，不恒成立，故D错误；所以反射光线的一个方向向量可以表示为.故选：B.14.已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由题意知是正方体内切球的半径，是正方体棱切球的半径，是正方体外接球的半径，从而求出，，，然后逐项判断即可.【详解】由题意得，所以，所以，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误；故选：C.三、解答题（本大题共5小题，共52分）15.在三棱台中，若平面分别为中点.（1）求证：平面（2）求点到平面的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，即可得到四边形是平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】连接、，由分别是的中点，根据中位线性质，，且，由棱台性质，，于是，又由可知，四边形是平行四边形，则，又平面，平面，于是平面.【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则．，设平面的法向量为，则，取，得，又，所以点到平面的距离，即点到平面的距离是．16.设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；（2）将问题转化为在上有实数解，令，可将问题进一步转化为在有实数解，通过分离变量法可得，由的值域可构造不等式求得的范围.【详解】（1）由题意知：函数的定义域为，是奇函数，，即，即，整理可得：，对任意都成立，，解得：．（2）将问题转化为在区间上有实数解，即关于的方程在区间上有实数解．设，，，则原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．当时，方程（*）不成立，，则方程（*）可化为：，即函数与函数的图象有公共点．函数为增函数，则该函数的值域为，，解得：，即实数取值范围为.方法点睛：已知函数有零点(方程根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17.如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【正确答案】（1）或；（2）.【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.【详解】（1）由得圆心，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：，显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．∴，∴，∴或．∴所求圆的切线方程为或．（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，则圆的方程为．又∵，∴设为，则，整理得，设为圆．所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，∴，由，得，由，得．综上所述，的取值范围为．考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.18.在正四棱锥中，分别为的中点，（1）求正四棱锥的表面积；（2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成二面角的大小（用反三角函数值表示）（3）求的值.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由题设求出正四棱锥各个面面积之和即可得解.（2）连接得，由题设建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量为，用二面角的向量法公式结合反三角函数即可计算求解.（3）先设求出，接着由，共面结合共面定理列出关于t的方程计算即可得解.【小问1详解】由题可得正四棱锥侧面是四个边长为的正三角形，所以正四棱锥的全面积为.【小问2详解】连接得，则由题意，且为底面中心，连接，则平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，所以，所以，设平面的法向量为m=x,y,z，则，所以即，取，则，因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面与平面所成二面角的大小为，则由图可知为锐角，故，所以，所以平面与平面所成二面角的大小为.【小问3详解】设，则，得，所以，因为且共面，所以存在使得，即，所以19.已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点.（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积.（2）若，求直线的方程；（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析，恒过定点【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得；（2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程；（3）设，易知直线斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标．【小问1详解】在椭圆中，左、右