2024-2025学年广东省中山市高二上学期12月月考数学检测试题（含答案）

2024-2025学年广东省中山市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题1．下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同2．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（

）

A． B．C． D．3．直线和直线，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．5．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．7．已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（

）A． B． C．8 D．二、多选题9．下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列与数列是同一个数列B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C．在数列中,第8个数是D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为10．如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（

）

A．与的夹角为 B．C． D．11．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（

）A．的最小值为0B．当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为C．当的重心在轴上时，的面积为D．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为三、填空题12．已知过点和的直线与斜率为的直线平行，则的值为．13．若圆与圆只有唯一的公共点，则.14．已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的四等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为.四、解答题15．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.16．已知圆．(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．17．如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若点M在线段上，且,平面，求出M点的坐标.18．已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围.19．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.（1）求点到线段的距离；（2）设是长为的线段，求点的集合所表示的图形的面积为多少？（3）求到两条线段、距离相等的点的集合，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中，，，，，.答案：题号12345678910答案DABDBADABCDBD题号11答案AC12．13．或14．15．（1）或；（2）【详解】解：（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以16．(1)x=−1或(2)【详解】（1）圆C的标准方程为:,点在圆外,故过点A且与圆C相切的直线有2条，①当直线的斜率不存在时,圆心到直线的距离直线与圆C相切.(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即圆心C到直线的距离,由题意,解得,此时,即,终上所述,直线的方程为x=−1或.（2）设因为为DE的中点,所以,点E在圆C上,即，即，所以点的轨迹是以为圆心,32为半径的圆,的轨迹的长度为.17．(1)证明见解析(2).(3)【详解】（1）因为平面，又平面,所以.因为是正方形，所以，，DE，AC都在平面，从而平面.（2）因为是正方形，所以,又平面，DA，DC都在平面内，所以所以，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示.

因为与平面所成角为，即，所以.由，得,所以，又，.则，，，，，所以，.设平面的法向量为，则，即.令，则.因为平面，所以为平面的法向量，.所以.所以所求角的余弦值为.（3）点M是线段上一个动点，设.则.因为平面，所以，即，解得.此时，点坐标为，即当时，平面.18．(1)(2).【详解】（1）由题意，又，椭圆C的方程为.（2）为线段的中点，，①当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性，不妨设所在直线的方程为，得，则；②当直线的斜率存在时，设直线，如下图所示：由，消去y，得，，即，，，，，化简得，经检验，成立，线段的中点，当时，，此时，当时，射线所在直线方程为，与椭圆联立，消去y得，，，，综上，的取值范围为.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.19．（1）；（2）；（3）.【详解】（1）设是线段上一点，则，，因此，当时，；（2）由题意，设的端点为，以所在直线为轴，以垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标