2024-2025学年山东省菏泽市鄄城县高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省菏泽市鄄城县高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在等差数列中，，，则（）A．1 B．0 C． D．2．若双曲线的离心率为，则（）A．2 B． C．1 D．3．已知向量，，且，那么（）A． B． C． D．54．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（

）A． B．C． D．5．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（）A． B． C． D．6．如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（

）

A．3 B．4 C．6 D．97．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为（

）A． B． C．2 D．8．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．直线：与圆：的公共点的个数可能为（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知数列满足，，则下列说法正确的是（）A． B．为递减数列C．数列中有两项的值最小 D．数列中有16项的值为负数11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（

）A．若的纵坐标为2，则B．若直线过点，则的最小值为4C．若，则直线恒过定点D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为三、填空题（本大题共3小题）12．数列满足，若，则.13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为．14．已知圆：和点，，若点在圆上，且，则实数的最小值是．四、解答题（本大题共5小题）15．设为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值及此时的值.16．已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2．(1)求的方程；(2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率．17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为，四边形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线：与圆：相切，与椭圆交于，两点，若的面积为，求由点，，，四点围成的四边形的面积.19．在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.(1)若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线;(2)已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点.①求的取值范围;②若直线的斜率分别为，证明：为定值.

答案1．【正确答案】A【详解】解：由等差数列的性质可知，所以．故选：A．2．【正确答案】D【详解】由题意知，双曲线的离心率，所以．故选：D．3．【正确答案】C【详解】由向量，，且，得，则，则.故选：C4．【正确答案】D【详解】由，可得的一个通项公式为.故选：D.5．【正确答案】B【详解】由题意知动点Px,y到直线的距离与它到定点的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，点的轨迹方程为.故选：B.6．【正确答案】A【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，

则A1,0,0，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，所以，，，所以集合，即集合共个元素.故选：A7．【正确答案】B【详解】在中，，所以，即，故左焦点为，而，故直线为，联立，得，设，由韦达定理得，由弦长公式得.故选：B.8．【正确答案】A【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，由，故，即（负值舍去），故，故，则，故.故选：A.9．【正确答案】BC【详解】圆：的圆心为，半径，当时，点到直线的距离，因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为或．故选：BC．10．【正确答案】CD【详解】当时，，所以，A错误；由，得当时，，，…，，将上式相加，得，所以，由二次函数的性质可知，不为递减数列，B错误；因为，所以当或时，取得最小值，C正确；当时，，解得，，所以数列中有16项的值为负数，D正确.故选：CD11．【正确答案】BC【详解】由题意得，，，准线方程.A.由的纵坐标为2得，，故，选项A错误.B.如图，设直线方程为：，，由得，，∴，∴，当时，，选项B正确.C.如图，设直线方程为：，，由得，，∴，∴，解得，∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确.D.如图，设点在第四象限.由题意得，，则.由准线方程为得，，故，，∴，∴四边形的周长为，选项D错误.故选：BC.12．【正确答案】/【详解】由，得，所以.故答案为.13．【正确答案】【详解】由题意知，，所以，设，则，由，得，故，所以当时，取得最大值9，当或时，取得最小值5，故的取值范围为．故14．【正确答案】【详解】设，由，得，即点在圆上，圆心为，半径．圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点，所以，解得，所以或，即的最小值为．故15．【正确答案】(1)(2)，，【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以的通项公式是.（2）由（1）知，所以，当时，取最小值.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知，准线的方程为，由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，，因为点在上，所以，整理得，，解得，故的方程为．（2）由（1）可知，F1,0，则，由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，Ax1,y1由，消去x整理得，则，可得，，所以，又因为的面积为3，则，即，解得，故直线的斜率为．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面，（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1），所以得，又,所以，又，，平面，所以平面，（2）知，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则,0,,,1,,,0,,,,,,1,则,0,,,1,,,,，设平面的一个法向量,,，则有，令，则有，，平面的一个法向量,0,，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．18．【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意列方程组中分别求出，从而求解.（2）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理从而求解.【详解】（1）设椭圆的焦距为，根据题意得，解得，，，所以椭圆的方程是.（2）设，，因为直线与圆：相切，所以，所以，联立得，因为圆在椭圆的内部，所以恒成立，所以，，所以，所以的面积，即，解得，此时直线轴，所以，所以四边形的面积为.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【详解】（1）证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为，则曲线的方程是，且，即，因为都是常数，且a，b不同时为，所以曲线是