2024-2025学年吉林省四平市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年吉林省四平市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．抛物线的准线方程是（

）A． B．C． D．2．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．3．与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（

）．A． B． C． D．4．已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（

）A． B． C． D．5．若圆和圆相切，则等于（

）A．6 B．7 C．8 D．96．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（

）A． B．C． D．7．已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．88．已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线与交于点，则（

）A．B．C．点到直线的距离为D．点到直线的距离为10．直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（

）A．4 B．5 C．3 D．11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以为直径的圆与准线相交C．设，则D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条三、填空题（本大题共3小题）12．已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为．13．过点作圆的切线，则切线方程为．14．椭圆：与其对称轴交于四点，按逆时针方向顺次连接这四个点，所得的四边形的面积为，且的离心率为，则的长轴长为；直线：与交于，两点，若以为直径的圆过点，则的值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知点，求满足下列条件的直线l的一般方程.（1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；（2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为.16．已知圆的方程为．(1)求实数的取值范围；(2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．17．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的面积．18．如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．

(1)求的取值范围；(2)求点的坐标．19．已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且.(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），直线AD与直线BE的交点为P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程.

答案1．【正确答案】A【详解】由化为，抛物线焦点在轴正半轴，且，则准线方程为.故选：A.2．【正确答案】A【详解】由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A.3．【正确答案】A先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为，∴所求直线方程为，整理为．故选：A4．【正确答案】A【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，，因此，又椭圆的离心率，故选：A.5．【正确答案】C【详解】圆的圆心，半径为5；圆的圆心，半径为r.若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．6．【正确答案】B【详解】对于椭圆，，，则，椭圆的焦点坐标为和1,0，抛物线的焦点的坐标为，因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.故选：B.7．【正确答案】C【详解】记双曲线的右焦点为，所以，当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．故选：C．8．【正确答案】D【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为，所以直线过定点，所以点P到直线l的距离的最大值为，故选：D9．【正确答案】ABD【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确，∴到直线的距离，故C错误，D正确.故选：ABD.10．【正确答案】AD【详解】做出函数与的草图.

设与圆相切，则或（舍去）.因为函数与有两个交点，所以.故选：AD11．【正确答案】ACD【详解】抛物线焦点，准线，由题意，故A正确；因为，则以为直径的圆的半径，线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；抛物线的焦点为，，当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则，解得，综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．故选：ACD．12．【正确答案】【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为，所以，故该双曲线的渐近线方程为.故13．【正确答案】或【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时满足，②直线斜率存在时，设切线方程为，则，所以切线方程为，即．故或.14．【正确答案】【分析】根据椭圆的性质以及离心率即可求解空1，联立直线与椭圆方程，根据向量数量积的坐标运算即可求解空2.【详解】由题意可得，且，又，故，故长轴长为，联立与可得，设,则，故，由于以为直径的圆过点，所以,,故，所以，化简可得，满足，故，故，

15．【正确答案】（1）或；（2）或.【详解】（1）当直线l过坐标原点，可得直线l的斜率为，可得直线l的方程为，即；当直线不过坐标原点，设直线l的方程为，代入点的坐标，可得，解得，可得直线的方程为，即，所以所求直线l的一般方程为或.（2）直线显然不过坐标原点，设直线l的方程为，即.直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，与坐标轴围成的三角形的面积为，解得或，故直线的方程为或，即直线的一般方程为或.16．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可；（2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值.（1）方程可化为，∵此方程表示圆，∴，即，即.（2）由（1）可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，由弦长公式及，得，解得，∴，得．17．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，则，设，故，所以，又，且，则.（2）由题设，，由，且，所以，综上，.

18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）圆的方程可化为．将抛物线的方程代入圆的方程有整理得，由题意可知有两个正根，所以解得，故的取值范围为；（2）设点的坐标分别为，由对称性可知，点在轴上，设点的坐标为，由（1）可知，得，所以，因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，即，所以，可得，又由，有，故点的坐标为．19．【正确答案】(1);(2)证明见解析，【详解】（1）由题意知，，解得，所以双曲线C的方程是.（2）由（1）知，.当直线DE的斜率存