2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知是虚数单位，则复数（

）A． B． C． D．2．已知直线与相交于点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．在不超过9的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（

）A． B． C． D．234．已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，已知点，，为平面上一动点且满足，当实数变化时，的最小值为（

）A． B． C． D．7．在梯形中，满足，则（

）A．4 B．6 C．10 D．128．已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．已知一组数据1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为2B．已知五个数据5，5，10，10，20，则这组数据的分位数为10C．若，则事件与互为对立事件D．若事件相互独立，，则10．在棱长为2的正方体中，为的中点，为平面上的一动点，则下列选项正确的是（

）A．二面角的平面角的正切值为2B．三棱锥体积为C．以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面的面积为D．线段的最小值为11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（

）A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是B．若，则的最大值为4C．若存在点P使得，则D．若存在点Q使得，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知椭圆，过右焦点的直线交于两点，则的最小值为.13．设向量满足，则的最大值等于.14．已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱AB与球面交于点.若平面平面平面平面且与之间的距离为同一定值，棱分别与交于点，则的值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知双曲线的实轴长为4，离心率等于2.(1)求双曲线的方程；(2)已知定点，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值.16．已知点，直线.(1)求过点，且与直线平行的直线的方程；(2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程.17．已知满足圆的方程.(1)求的取值范围；(2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围.18．如图，在三棱锥中，分别是的中点.(1)求证:平面；(2)若四面体的体积为，求；(3)若，求直线AD与平面所成角的正弦值的最大值.19．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，短轴长为，且经过点.过左焦点的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明:直线过定点，并求定点坐标；(3)设为直线与直线BD的交点，求面积的最小值.

答案1．【正确答案】B【详解】,故选：B.2．【正确答案】A【详解】由得，即，所以点到直线的距离为，故选：A．3．【正确答案】C【详解】不超过9的质数有共4个，任取两个求和有：，，，，，共6个，其中和为偶数的有3个：，，，和为偶数的概率为，故选：C．4．【正确答案】D【详解】由题意，在中，，则AF即，整理得，所以的离心率.故选：D.5．【正确答案】B【详解】由题设，底面的外接圆半径，又平面，且，则三棱锥的外接球半径，所以外接球表面积为.故选：B6．【正确答案】B【详解】设Mx,y，则，整理可得：，点轨迹是以C0,1为圆心，半径的圆，，当时，，.故选：B.7．【正确答案】C【详解】∵，∴，，故选：C．8．【正确答案】B【详解】因为，由正弦定理可得，由题设，所以，即，而，则，显然恒成立，所以，可得.故选：B9．【正确答案】AD【详解】A：数据从小到大为，显然中位数为2，对；B：由，则，错；C：由且互斥时，互为对立事件，错；D：由题设且也是相互独立，故，对.故选：AD10．【正确答案】ACD【详解】如图，设交于点，平面，平面，则，同理，又，，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，由已知，，所以，A正确；由正方体性质知，B错；如图，设交于点，由且得，即，，由平面，平面，得，同理可得，而，平面，所以平面，（易得实际上等边是的中心）以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面，为圆心，设是圆周上一点，则，圆面积为，C正确；延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点，因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立，以为原点，o轴建立空间直角坐标系，如上图，则，，，∴，，D正确．故选：ACD．11．【正确答案】ACD【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点，此时离心率，对；B：当时，令，则，而，所以，又，故，所以的最大值为，错；C：由，若，则，由，令，且，则，即，所以，则，且，故，对；D：令，若，所以，则，所以，轨迹是圆心为，半径为的圆，而与的距离为，要使点Q存在，则，可得，且，即，对；故选：ACD12．【正确答案】3【详解】由已知，，通径长为，则AB的最小值．故3.13．【正确答案】【详解】依题意，，在平面直角坐标系中，令，设，则，由，得，整理得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，是该圆上的点到原点的距离，又原点在该圆上，所以的最大值等于.故14．【正确答案】【详解】设和之间的距离为，球的半径为，由题意，解得，所以，则，所以，由共线，则存在实数使且，所以，即，整理得，可得，所以，即，所以，又且与之间的距离为，则，故，所以，且，在中，.故15．【正确答案】(1)(2)9【详解】（1）由条件可知，，，得，，所以双曲线方程为：；（2）∵是双曲线的左焦点，∴，，，，设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，

当且仅当三点共线时，等号成立，因此，的最小值为916．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为，故可设直线的方程为，因为点在直线上，所以，所以，所以直线的方程为；（2）设点关于直线的对称点为．由题意得，解得，所以点的坐标为，所以反射光线所在直线方程为，即．

17．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）由，即，设直线，即该直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得，则．（2）设的坐标分别为x1,y1将直线代入，整理，得，则，，且，即，当为锐角时，，解得，又，综上，可得的取值范围为．18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）.的中点为，则..，则，故，即.因为，，平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.而，所以，解得.（3）过作轴垂直平面，以方向分别为则，，设平面法向量为由得，所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为，所以所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．19．【正确答案】(1)；(2)证明见解析，定点；(3).【详解】（1）由题设，，可得，