2024-2025学年河南省南阳市高二上学期11月期中数学质量评估试题（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市高二上学期11月期中数学质量评估试题一、单选题（本大题共8小题）1．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．下列椭圆的形状更接近于圆的是（

）A． B．C． D．3．已知点与关于直线对称，则的值分别为（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，4．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（）A． B．C． D．5．双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或76．椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（）A． B． C．−1,1 D．7．已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（）A． B． C． D．8．已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．以下四个命题为真命题的是（）A．若、、三点共线，则m的值为2B．直线的倾斜角的范围是C．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是D．直线与直线平行，则10．已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（）A． B．点M的轨迹方程是C．的最大值是25 D．的最大值为11．曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于3的点P的轨迹，则下列结论正确的是（）A．曲线C关于坐标轴对称 B．点P到原点距离的最大值为2C．周长的最小值为 D．点P到y轴距离的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.13．已知，，，若平面内满足到直线：的距离为1的点P恰有3个，则.14．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知抛物线，焦点为.(1)求的坐标及抛物线的准线方程；(2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值.16．已知点P是直线：与直线：的交点.(1)求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(2)设Q为圆E：上的一个动点，求中点M的轨迹方程.17．已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点.(1)求椭圆方程；(2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）.①求m的取值范围；②若，其中O为坐标原点，求直线的方程.19．通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.(1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：(2)已知二次方程的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，（i）求斜椭圆C的离心率；（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M，N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G，H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

答案1．【正确答案】A【详解】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为，因为，所以.故选：A.2．【正确答案】D【详解】对于A，，，则，所以；对于B，，，则，所以；对于C，，，则，所以；对于D，，，则，所以.因为，所以椭圆的形状更接近于圆.故选：D.3．【正确答案】B点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.【详解】，若点与关于直线对称，则直线与直线垂直，直线的斜率是，所以，得.线段的中点在直线上，则，得故选:B4．【正确答案】B【详解】由抛物线的定义，可知，又，，则，即，由点在C上，得，结合，解得.所以C的方程为.故选：B.5．【正确答案】B【详解】由，可得，则.又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得.故选：B6．【正确答案】A【详解】设，则其中点坐标为，则，两式相减可得，即，因为A，B关于直线对称，则，又，所以，即，所以，且点在直线上，则，解得，所以.故选：A7．【正确答案】B【详解】由圆的方程，则圆心，半径，结合题意作图如下：由与圆相切，则，且，设Px,y，则，可得，的最小值为，的最大值为.故选：B.8．【正确答案】D【详解】设双曲线的半焦距为，则，由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线方程为：，即，设的内切圆与三边相切的切点分别为，，，如图所示，

则，即，而轴，圆半径为，则，点到直线的距离：，整理得，且，解得，又因为，可得，所以双曲线的离心率，故选：D.9．【正确答案】BCD【详解】对于A，取，，由题意可得，解得，故A错误；对于B，由直线方程，则斜率，由，则，设直线的倾斜角为，则，由，解得，故B正确；对于C，设，由题意可作图如下：直线的斜率，直线的斜率，由图可知直线绕点按逆时针旋转到直线，则，解得，故C正确；对于D，由题意可得，则，，解得a=2或，当a=2时，，不合题意；当a=−1时，，符合题意，故D正确.故选：BCD.10．【正确答案】AB【详解】对A,,所以，故A正确；对于B，直线：可化为，所以定点为，直线：可化为，定点为，因为，所以，设Mx,y，则，所以，化简可得，故B正确；对于C，根据选项B可得，所以，当且仅当时，等号成立，此时的最大值是，故C错误；对于D，设，则，所以，即的最大值为，故D错误；故选：AB.11．【正确答案】ABC【详解】设，由题意可得，整理可得曲线，设，则，对于A，任意取曲线的点，即，点关于轴的对称点为，，显然成立，所以曲线关于轴对称，同理可得曲线关于轴对称，故A正确；对于B，由是与的中点，则，，当共线时，取得最大值，，且，取得最大值，所以取得最大值，故B正确；对于C，的周长为，当且仅当，等号成立，故C正确；对于D，在中，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，取得最大值，所以的面积取得最大值，点到轴的距离取得最大值，故D错误.故选：ABC.12．【正确答案】【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围.【详解】，解得，故实数k的取值范围是.故答案为.13．【正确答案】【详解】设，由，得，整理得，，即点P的轨迹是圆，圆心在原点，半径为2.由题意，该圆上恰有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为1，即，解得.故答案为.14．【正确答案】/【详解】因为，，所以直线与间的距离为，又，故，过作直线垂直于，如图，则可设直线的方程为，代入，得，则，所以直线的方程，将沿着直线往上平移个单位到点，设，则，解得或（舍去），则，连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，因此的最小值，即的最小值，因为，，所以，所以的最小值为.故答案为.15．【正确答案】(1)，准线方程为.(2)3【详解】（1）将抛物线：化为标准方程得，，其焦点坐标为0,1，准线方程为.（2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离，为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和，要使得最小，则点P，A在一条垂直于准线的直线上，故最小值即为点到准线的距离为3，所以，的最小值为3.16．【正确答案】(1)或.(2).【详解】（1）联立方程组，解得，所以点P的坐标为.若直线的截距为0，即直线经过原点，则直线方程为，即；若直线的截距不为0，设直线方程为，将点代入，得，此时直线方程为，所以，过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或.（2）设点，点，由点M是线段的中点可得，解得，由于点在圆：上，所以，化简得，所以点M的轨迹方程为.17．【正确答案】(1)(2)存在，【详解】（1）由题意，，即，则①；又点在椭圆C上，故②，联立①②解方程组得，，，所以椭圆C的方程为.（2）假设存在点，使得恒成立，易知点，设点Px1,y设直线的方程为：，联立方程组得，，则由根与系数的关系得，，，（*）若满足，则，即，整理得，，又，，代入上式得，，整理得，，将（*）式代入得，，又，解得，故存在点使得恒成立.18．【正确答案】(1).(2)①或；②或.【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，即，根据题意，，双曲线的方程为.设点Px0,y0由，得，，根据题意，，解得，所以双曲线C的方程为.（2）（i）设点，，联立方程组得，，易知恒成立，由根与系数的关系，，.因为直线与双曲线左右两支相交，所以m需满足，解得或.（ii）由图易知，，则，所以，解得或，由（i）知，得，直线的方程为，即或.19．【正确答案】(1)；(2)（i）；（ⅱ）是，2.【分析】（1）借助所给定义计算即可得；（2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得；（ⅱ）法一：设出直线，，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得；法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线，旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得.【详解】（1）由已知可得，则，设，则，所以，，即点P的坐标为；（2）（i）由与交点为和，则，由与交点为和，则，所以，；（ⅱ）法一：设直线：，，，与斜椭圆联立：，有，∵