2024-2025学年河北省承德市高新区高二上学期11月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年河北省承德市高新区高二上学期11月月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知圆关于直线对称，则（

）A． B．1 C． D．02．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（）A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合4．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（）A． B． C． D．5．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直6．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．27．如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（）

A． B． C． D．8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3二、多选题（本大题共3小题）9．圆（

）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称10．椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（

）A．的周长为8B．椭圆的离心率为C．的长为D．的面积为11．在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（）A．平面B．C．异面直线，所成的角为D．与平面所成角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线，，且，则.13．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为.14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论：①当点是中点时，直线平面；②直线到平面的距离是；③存在点，使得；④面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆.(1)若直线与圆相交，求实数的取值范围；(2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和.①求四边形面积的最小值；②当点横坐标为4时，求直线的方程.16．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.

(1)求证：(2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.17．在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为.(1)求的方程.(2)直线与C交于两点（点不重合）.①求的取值范围；②若，求.18．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角的余弦值.19．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：eq\f(k1,k2)为定值．

答案1．【正确答案】B【详解】由题意直线过圆心，则.故选：B2．【正确答案】B【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，故，故椭圆的标准方程为.故选：B3．【正确答案】A【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，即，所以或重合.故选：A4．【正确答案】A【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，因此反射光线所在直线过点，方程为，即.故选：A5．【正确答案】C【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，，，又平面，平面，平面，且，直线与异面垂直．故选：C．6．【正确答案】C【分析】先根据渐近线方程求得，再由求解.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以双曲线C的离心率为，故选：C7．【正确答案】A【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设关于平面的对称点为，则，设平面的法向量，则即令，则，所以为平面的一个法向量，所以与到平面的距离，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为．故选：A．

8．【正确答案】A【详解】如图，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，所以，设，因为，则在中，由余弦定理得：，化简得：，即，从而有，整理得，（当且仅当时等号成立）故选：A.9．【正确答案】ABC【详解】由圆的方程为，即，即圆心的坐标为，A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确；B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确；故选：ABC.10．【正确答案】ACD【详解】由题意：为面积是的正三角形，故且，故；的周长为，故A正确；椭圆的离心率，故B错误；设，则，由知；由余弦定理：，所以，C正确；，故D正确，故选：ACD.11．【正确答案】AC【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.对于A，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A正确.对于B，因为，，所以，所以DP，EC不垂直，故B错误.对于C，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C正确.对于D，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D错误.故选：AC.12．【正确答案】【详解】由，则，即.故13．【正确答案】【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，可知，则，即，又因为，得解得，故双曲线方程为.故答案为.14．【正确答案】①②③【详解】对①，如图所示:因为是中点，，所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接，所以，而平面，平面，所以直线平面，故①正确；以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，对②，，分别是棱，的中点，所以，平面，平，故平面，故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为，，，，，，由得，故②正确；对③，设，，，则，，由，得，得，由，故存在点，使得，故③正确；对④，由③得到的投影为，故到的距离，面积为，，由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错．故①②③15．【正确答案】(1)(2)①；②【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，即，解得的取值范围是.（2）①易知，所以，等号对成立，故最小值是；②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，因为，所以圆的半径为，方程为，即，直线AB为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线AB的方程为.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为四边形为正方形，平面，如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，

所以，所以，所以，所以.（2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，则，又，所以，解得（负值舍去），所以存在满足条件，所以，依题意可得，设为平面的法向量，则，设，可得，所以点到平面的距离为.17．【正确答案】(1)(2)①，②【详解】（1）设，则，将代入，可得，即即点的轨迹的方程为；（2）①由，联立整理得：，由，即，化简得，故，②当时，，解得，故.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因平面平面，平面平面,由底面是正方形，可知,且平面,则平面，又平面，故；（2）如图，分别取的中点为，连接.因，则,因平面平面，平面平面,且平面，则平面，又,故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，于是，,设平面的法向量为，则，故可取；因,设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为；（3）由（2）建系，则,设平面的法向量为，则，故可取，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.19．【正确答案】(1)x2－eq\f(y2,4)＝1(2)证明见详解【详解】(1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，∴eq\f(b,a)＝2，∴a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝1，,x＝ny＋2，）得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(16n,4n2－1)，y1y2＝eq\f(12,4n2－1)，∴ny1y2＝－eq\f(3,4)(y1＋y2)，∵直线MA的斜率k1