2024-2025学年广东省江门市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省江门市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，则（

）A．4 B．3 C．2 D．13．“”是“曲线表示椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（

）A．事件发生的概率为 B．事件相互独立C．事件是互斥事件 D．事件发生的概率为5．如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（

）A． B．C． D．6．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（）A． B． C．1 D．7．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（

）A．直线AB的方程为 B．C．均与圆相切 D．四边形的面积为8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题正确的是（

）A．在空间直角坐标系中，已知点，则三点共线B．已知，则在上的投影向量为C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则10．已知直线，直线，则下列说法正确的为（

）A．若，则B．若两条平行直线与间的距离为，则C．直线过定点D．点到直线距离的最大值为11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（

）A．若的周长为6，则B．若当时，的内切圆半径为，则C．若存在点，使得，则D．若的最大值为2b，则三、填空题（本大题共3小题）12．，则.13．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为．14．已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l.(1)求圆C的标准方程；(2)求切线l的方程.16．已知动点满足：．(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程．17．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和2，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差.18．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将沿AC折起到的位置，使得平面⊥平面.(1)求证：平面(2)平面ABC与平面夹角的余弦值(3)线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.19．已知点为椭圆的焦点，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于、两点，且坐标原点到直线的距离为，的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

答案1．【正确答案】D【详解】设直线的倾斜角为，则.因为，，所以，故.故选：D.2．【正确答案】B【详解】因为，则，若，则，解得．故选：B．3．【正确答案】B【详解】若曲线表示椭圆，则，得所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B4．【正确答案】B【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12个，事件含有的基本事件有：43，共1个．事件含有的基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7个，事件发生的概率为，故A正确；，，，，不相互独立，故B错误；事件两者不可能同时发生，它们互斥，故C正确；事件中含有8个基本事件，共有基本事件12个，因此，故D正确.故选：B．5．【正确答案】A【详解】因为，所以，所以.故选：A6．【正确答案】B【详解】如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，如下所示：易知，，;取，，则，所以点到直线的距离为．故选：B.7．【正确答案】D【详解】由圆，得，则圆心，半径，线段的中点坐标为，且，则圆，即.对于选项A：联立，两式作差可得：，即直线的方程为，故A正确；对于选项B：圆心到直线的距离为，则，故B正确；对于选项C：因为在以为直径的圆上，则，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确；对于选项D：因为，且，则，所以四边形的面积为，故D错误．故选：D．8．【正确答案】A【分析】设，，由，可得点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，又，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设，，因为，所以，即，所以点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，因为，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，所以，所以，即的最大值为，故选：A.9．【正确答案】BD【详解】A选项，可得，注意到，坐标的对应分量不成比例，即不共线，从而三点不共线，A选项错误；B选项，根据投影向量公式可得，在上的投影向量为，B选项正确；C选项，注意到，则，C选项错误；D选项，由于点为平面上的一点，即四点共面，根据共面条件可知，，即，D选项正确.故选：BD.10．【正确答案】AC【详解】由题，斜率为，，斜率为，对于A，若，则，即，故A正确；对于B，因为，所以即，且即，又两条平行直线与间的距离为，所以或，故B错误；对于C，对，令，所以直线过定点.故C正确；对于D，由C可知直线过定点，所以要使点到直线距离最大，则，则点到直线距离的最大值为，故D错误.故选：AC.11．【正确答案】ABD【详解】对于A,由椭圆，可得，因为的周长为6，所以，解得，因为，所以，解得，故A正确；对于B，由，可得，当时，由余弦定理可得，则，解得，所以，又的内切圆半径为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正确；对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，所以，所以，解得，所以存在点，使得，则，故C错误；对于D，设，，又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，故时取最大值，所以，解得，故D正确.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】因为，所以，得到，所以，得到，故答案为.13．【正确答案】/【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，记黄球为，2个白球为、1个红球为，利用枚举法可知从中一次取2个小球为，共有10种取法，而颜色相同的取法有两种，故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为，所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为．第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为，所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为．两次均为“2个小球颜色一黄一白”，第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为．所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为.故答案为.14．【正确答案】7【详解】解析：由点，分别是圆，圆上的动点，可知：，所以，，设关于轴的对称点为，则，当，，三点共线时，取最大，最大值为，所以.故7

15．【正确答案】(1)(2)和【详解】（1）解：设圆C的标准方程为，圆心为，半径为，依题意可得，解之得，所以圆C的标准方程为.

（2）解：切线斜率存在时，设切线l的斜率为，则切线l的方程为，即，所以，解得，所以切线l的方程为，又因为圆心到直线的距离为，所以直线也为圆圆C的切线.故切线l的方程为和.16．【正确答案】(1)的方程是：(2)【详解】（1）设，，，因为，所以，且，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.设椭圆C的方程为，记，则，，所以，，所以，所以的标准方程为.（2）设点，则，作差得，除以得，又由点是AB的中点，则有，所以，变形可得，所以直线的方程是即，经检验符合题意，故直线的方程为.17．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设这人的平均年龄为，则.（2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为：，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则，所以.（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，，据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差为.18．【正确答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3)存在点Q，.【详解】（1）连接，因为，P为AB的中点，所以，，故四边形为平行四边形，故是AC，DP的中点，因为P是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面⊥平面，交线为AC，因为，O是AC的中点，所以⊥AC，因为平面，所以⊥平面，因为平面ACB，所以，，因为，AP=AD，所以三角形ADP为等边三角形，因为O是DP的中点，所以OP⊥AC，所以两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OA，OP，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，平面ABC的法向量为，设平面ABC与平面的夹角为，则，故平面ABC与平面的夹角的余弦值为；（3）存在点Q，理由如下：设，，则，由（2）知：平面的法向量为，设CQ与平面所成角为，则，因为，解得：，故.19．【正确答案】（1）；（2），理由见解析.【分析】（1）利用椭圆的定义求出的值，再结合的值可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，求出点、的坐标，计算出；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，由已知条件得出，将直线的方程与椭圆的方