北京市房山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

北京市房山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．如果xy=5A．−52 B．−23 C．3．抛物线y=(x−1)A．(−1，2) B．(1，2) C．4．如图，在⊙O中，若∠BAC=25°，则∠BOC的度数是（）A．15° B．25° C．50° D．75°5．将二次函数y=xA．y=x2+5 B．y=x2−56．若点A(1，y1)，B(2，y2A．y1>y2 B．y1<7．如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的俯角β为45°，则旗杆AB的高度为（）A．32m B．33m C．8．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，点D是BC的中点，连接BD，OD，AC，AD，AD与OC交于点E，给出下面三个结论：①AD平分∠CAB；②AC∥OD；③AE=2上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．函数y=1x−1的自变量x的取值范围是10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=130°，则∠A=.11．请写出一个图象过点(1，2)的函数表达式：12．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9，AE=2，则EC的长为.13．如图，A，B，D三点在半径为5的⊙O上，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，若AB=8，则OC的长为.14．如图，在33的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，点C在OB上，则AC的长为.15．在△ABC中，BC=2，AC=23，∠A=30°，则△ABC的面积为16．在平面直角坐标系xOy中，A为y轴正半轴上一点.已知点B(1，0)，C(5，0)，⑴点P的横坐标为；⑵若∠BAC最大时，则点A的坐标为.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程..17．计算：4sin18．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE=∠C.求证：△ADE∽△ACB.19．已知二次函数y=x（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；（2）结合图象直接写出当−1<x<1时，y的取值范围.20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.求cosA21．已知：如图⊙O.求作：⊙O的内接正方形.作法：①作⊙O的直径AB；②作直径AB的垂直平分线MN交⊙O于点C，D；③连接AC，BC，AD，BD.所以四边形ACBD就是所求作的正方形.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：∵MN是AB的垂直平分线，∴MN过点O.∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°.∴AC=BC=BD=AD.（）（填推理的依据）∴四边形ACBD是菱形.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=°.（）（填推理的依据）∴菱形ACBD是正方形.22．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC，垂足为点E.（1）求证：∠DAE=∠EDC；（2）若BC=8，tan∠EDC=3423．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=kx相交于点P(2，（1）求m的值及点Q的坐标；（2）已知点N(0，n)，过点N作平行于x轴的直线交直线y=x与双曲线y=kx分别为点A(x1，y124．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且∠DCB=∠DAC，⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠D=30°，求AE的长.25．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系.实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−h)九年级一名男生进行了两次训练.（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m035679竖直高度y/m2175955917根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−h)（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−112(x−5)2+4912.记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为d26．在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)，在抛物线（1）当m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点(x0，n)(x0≠3)27．如图，在等边三角形ABC中，E，F分别是BC，AC上的点，且BE=CF，AE，BF交于点G.（1）∠AGF=°；（2）过点A作AD∥BC（点D在AE的右侧），且AD=BC，连接DG.①依题意补全图形；②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系，并证明.28．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'=2MP，则称点（1）当⊙O的半径为2时，①在P1(−1，0)，P2(1，32②已知一次函数y=kx−2k在第一象限的图象上的所有点都是⊙O的“内二分点”，求k的取值范围；（2）已知点M(m，0)，B(0，−1)，C(1，−1)，⊙M的半径为4，若线段

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

故答案为：A

【分析】将图形沿某一条轴折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一个点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.2．【答案】C【解析】【解答】解：x−yy=xy-y3．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：

抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1，2)4．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得：

∠BOC=2∠BAC=50°

故答案为：C

【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：

将二次函数y=x2的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是y=x26．【答案】B【解析】【解答】由题意可得：

k=-1<0

∴y随x的增大而增大

∵2>1

∴y1<y27．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

CE⊥AB，CE=BD=9

在Rt△AEC中

AE=CE·tan30°=33

在Rt△BCE中，∠BCE=45°

∴BE=CE·tan45°=9

∴8．【答案】D【解析】【解答】解：∵D是BC的中点

∴∠CAD=∠DAB

∴AD平分∠CAB，①正确

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴AC∥OD，②正确

∵OC⊥AB

∴∠AOC=90°

∵OA=OC=OD

∴AC=2OA=2OD

∵AC∥OD

∴AEDE=ACOD=29．【答案】x≠1【解析】【解答】解：∵y=1x-1，

∴x-1≠0，

解得：x≠1.【分析】因为此函数是反比例函数，解析式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为0，列出不等式，解不等式即可.10．【答案】50°【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠C+∠A=180°

∵∠C=130°

∴∠A=180°-130°=50°

故答案为：50°

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可求出答案.11．【答案】y=2x或y=2x或【解析】【解答】解：由题意可得：

所求函数表达式只要图象经过点（1，2）即可

如y=2x或y=2x或y=2x2（答案不唯一）

故答案为：y=2x或y=212．【答案】4【解析】【解答】解：∵DE∥BC

∴△ADE~△ABC

∴AEAC=DEBC

∵DE=3，BC=9，AE=2，

∴AC=6

∴EC=AC-AE=4

故答案为：413．【答案】3【解析】【解答】由题意可得：

OA=5，AC=12AB=4

∴OC=O14．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可得：

OC=OA=22+22=22，∠AOC=45°15．【答案】3或2【解析】【解答】解：由题意可得：

过点C作AB边的垂线，垂足为M

在Rt△AMC中

sinA=CMAC

∴CM=3

∴AM=AC2-CM2=3

当点B在点M左侧时

B1M=CB1-CM=1

∴AB116．【答案】3；(0【解析】【解答】解：∵⊙P是△ABC的外接圆

∴P在BC的垂直平分线上

∵B(1，0)，C(5，0)

∴OB=1，OC=5

∴BC=5-1=4

∴P的横坐标为1+2=3

（2）当圆P与y轴相切时，∠BAC最大

连接AP，PC，过P作PH⊥BC于H

∴BH=CH=12BC

由（1）可知OB=1，BC=4

∴BH=CH=2

∴OH=3

∴AP⊥OA

∵∠AOH=90°

∴四边形AOHP是矩形

∴PC=AP=OH=3，AO=PH

∵PH=PC2-CH17．【答案】解：4【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，0指数幂，绝对值的性质，二次根式即可求出答案.18．【答案】证明：∵∠ A=∠ A，又∵∠ ADE=∠ C，∴△ADE∽△ACB.【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案.19．【答案】（1）解：二次函数y=x抛物线的对称轴为直线x=−1 .（2）解：当−1 < x < 1时，则y的取值范围是−4 < y<0.【解析】【解答】解：：二次函数y=x2+2x−3的图象，如图.

抛物线的对称轴为直线x=−1 .

【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象即可求出答案；20．【答案】解：在Rt△ABC中，∠ C=90°，BC=5，AB=13，由勾股定理得：AC=A∴cosA=【解析】【分析】根据勾股定理可求出AC长，再在Rt△ABC中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.21．【答案】（1）解：补全的图形如图所示：（2）在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等；90；直径所对的圆周角是直角【解析】【分析】（1）根据根据圆内接四边形的性质及正方形的性质即可求出答案；

（2）根据圆周角性质及有一个角为90°的菱形为正方形即可求出答案.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ ADC=90°.∴∠ ADE+∠ EDC=90°.∵DE⊥AC，∴∠ ADE+∠ DAE=90°.∴∠ DAE=∠ EDC.（2）解：在Rt△DEC中，tan∠ EDC=34，设EC=3x则DC=5x.∵∠ DAE=∠ EDC，∴tan∠ DAE=∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8.在Rt△ADC中，tan∠ DAC=34∴tan∠ DAE=DCAD=∴DC=5x=6.∴x=65.∴【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，进行角之间的转换即可求出答案；

（2）在Rt△DEC中，设EC=3x，DE=4x，再根据锐角三角形函数的定义可求出DC=5x，再根据矩形的性质结合锐角三角函数定义即可求出答案.23．【答案】（1）解：∵直线y=x与双曲线y=kx相交于点∴m=2.把点P(2，2)代入y=k∴k=4.∴y=4∴y=x∴x=2，y=2∴点Q的坐标为(−2，（2）n>2或−2<n<0【解析】【解答】∵直线y=x与双曲线y=kx相交于点P（2，2）和点Q（-2，-2）

∴当x1>x2时，n的取值范围为：n>2或−2<n<0

故答案为：n>224．【答案】（1）证明：连接OC.∵OA=OC，∴∠ OAC=∠ OCA.又∵∠ DCB=∠ DAC，∴∠ DCB=∠ OCA.∵AB是⊙O的直径，∴∠ OCA+∠ OCB=90°.∴∠ DCB+∠ OCB=90°.又∵OC是半径，CD经过⊙O的半径外端C.∴CD是⊙O的切线.（2）解：在Rt△OCD中，∵∠ OCD=90°，∠ D=30°，OC=2，∴OD=4.∴AD=AO+OD=6.∵AE是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AE.在Rt△EAD中，∵∠ EAD=90°，∠ D=30°，AD=6，∴AE=AD⋅tan【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠ OAC=∠ OCA，则∠ DCB=∠ OCA，再根据圆直径所对的圆心角为直角可得∠ DCB+∠ OCB=90°，再根据切线的判定定理即可求出答案；

（2）根据含30°角的直角三角形可得OD=4，则AD=AO+OD=6，再根据切线性质可得OA⊥AE，则在Rt△EAD中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.25．【答案】（1）解：5m.解：由题意可知y=a(x−6)∵当x=0时，y=2，∴a(0−6)2+5=2∴函数关系为y=−1（2）>【解析】【解答】解：（2）在y=−112(x−6)2+5中

当y=0时，有：0=−112(x−6)2+5

解得：x1=6+215，x2=6-225（舍去）

∴d1=6+215

在y=−126．【答案】（1）解：当x=0时，y=4.∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，∵点(1，m)，(3，n)在抛物线∴3−t=t−1，解得t=2.（2）解：由m=a+b+4，n=9a+3b+4，∵m<n，∴8a+2b>0.∴b>−4a.∵a>0，∴−b2a<2∵n<4，∴9a+3b<0.∴b<−3a.∴−b2a>综上所述，32∵点(x∴(x0，n)，(3，∴3−t=t−x0，解得∴32<x0【解析】【分析】（1）先求出抛物线与y轴交点坐标，再将点(1，m)，(3，n)代入抛物线解析式，列出方程，解方程即可求出答案；

（2）将点(1，m)，(3，n)代入抛物线解析式可得m=a+b+4，n=9a+3b+4，再根据m，n之间的关系可求出b>−4a，再根据对称轴性质可求出3227．【答案】（1）60（2）解：①依题意补全图形，如图.②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系：3AG证明：作∠ GAM=120°，在AM截取AP=AG，连接GP，PD.∵AP=AG，∠ GAP=120°，∴∠ AGP=∠ APG=30°.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ ABC=60°.又∵AD=BC，∴AB=AD.∵AD∥BC，∴∠ ABC+∠ BAD=180°.∴∠ BAD=120°.∵∠ GAP=120°，∴∠ BAG=∠ DAP.∴△BAG≌△DAP(SAS).∴BG=DP，∠ APD=∠ AGB=120°.∵∠ APG=30°，∴∠ DPG=90°.∴GP过点A作AQ⊥GP于点Q，在Rt△AGQ中，∵∠ AGQ=30°，cos∠ AGQ=∴GQ=32AG.又∵BG=DP，∴3AG【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°

在△ABE和△BCF中

AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF

∴△ABE≌△BCF(SAS)

∴∠BAE=∠CBF

∴∠AGF=∠ABF+∠BAE=∠ABF+∠CBF=60°

故答案为：60°

【分析】（1）根据等边三角形性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，再根据全等三角形的判定定理可得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠CBF，再进行角之间的转换即可求出答案；

（2）①根据题意作图即可求出答案.

②作∠ GAM=120°，在AM截取AP=AG，连接GP，PD，则∠ AGP=∠ APG=30°，再根据