四川省眉山市东坡区实验初级中学2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟测试（含答案）

实验初级中学九年级上册数学期末模拟测试一．选择题1．下列计算错误的是（）A． B．3 C． D．2．将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度3．下列各式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．4．如图，△ABC中，∠ABD＝∠CBD，AE＝CE，AD⊥BD．若DE＝5，AB＝8，则BC的长为（）A．19 B．18 C．17 D．105．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠06．下列说法正确的是（）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616 C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．试验得到的频率与概率不可能相等7．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且OC＝2BC，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．8．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4 C．6 D．810．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则cosα的值是（）A． B． C． D．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．a＜0 B．4a+2b+c＞0 C．c＞0 D．当x＝1时，函数有最小值12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，∠AFD＝90°，则下列结论：①∠AED＝∠OBC；②AF＝CF③S△ADF＝S△AFC；④CD2＝4AE•EF，其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题）13．如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，则斜坡AB的铅直高度BE的长为米．14．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝a（x+2）2+c（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．15．若α，β均为锐角，且|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则α+β＝°．16．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是．17．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为．18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．三．解答题19．计算：；20.解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．38．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足，求a的值．39．某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．40．某网店专售一种杭州亚运会纪念品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品每件获利不得高于50%据市场调查发现，若每件销售价70元，月销售量450件，每增加1元，月销量减少5件．（1）若每件销售价80元，则每月可得利润元；（2）设每件商品销售价为x元，该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？41．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）42．如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，E为BC上一点，BE＝4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动．连DF，DE，EF，过E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）．（1）当AF＝CE时，试求出BH的长．（2）当F在线段AB上时，设△DEF面积为S，△DEF周长为W．①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，W有最小值．（3）当△BEF与△BEH相似时，求t的值．43．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．一．选择题1．下列计算错误的是（）A． B．3 C． D．【解答】解：A．÷2＝2÷2＝，故选项A正确，不符合题意；B．3与2不能合并，故选项B错误，符合题意；C．＝，故选项C正确，不符合题意；D．＝2＝，故选项D正确，不符合题意；故选：B．2．将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），所以抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y＝x2+2x+3．故选：D．3．下列各式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝2，与不是同类二次根式，本选项错误；B、＝，与是同类二次根式，本选项正确；C、＝2，与不是同类二次根式，本选项错误；D、＝3，与不是同类二次根式，本选项错误．故选：B．4．如图，△ABC中，∠ABD＝∠CBD，AE＝CE，AD⊥BD．若DE＝5，AB＝8，则BC的长为（）A．19 B．18 C．17 D．10【解答】解：如图，延长AD交BC于点F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°，在△BAD和△BFD中，，∴△BAD≌△BFD（ASA），∴AD＝DF，BF＝AB＝8，∵AE＝CE，AD＝DF，∴FC＝2DE＝10，∴BC＝BF+FC＝18，故选：B．5．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故选：D．6．下列说法正确的是（）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616 C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．试验得到的频率与概率不可能相等【解答】解：A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，此选项说法错误；B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616，此选项说法正确；C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，此选项说法错误；D．试验得到的频率与概率可能相等，此选项说法错误；故选：B．7．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且OC＝2BC，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，∵＝，∴＝，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．8．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确；⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，⑥当x＞0时，y先随x的增大而减小，故⑥错误，故选：D．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．10．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则cosα的值是（）A． B． C． D．【解答】解：如图：过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，设l1、l2、l3间的距离为d＝1，∵AD⊥l3，BE⊥l3，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝2，在Rt△BCE中，，∴．故选：C．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．a＜0 B．4a+2b+c＞0 C．c＞0 D．当x＝1时，函数有最小值【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，所以A选项错误；∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以B选项错误；∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，所以C选项错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数有最小值，所以D选项正确．故选：D．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，∠AFD＝90°，则下列结论：①∠AED＝∠OBC；②AF＝CF③S△ADF＝S△AFC；④CD2＝4AE•EF，其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE+∠AED＝90°，∠ADB＝∠OBC，∵∠AFD＝90°∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠OBC＝90°，∴∠AED＝∠OBC，即①正确；②∵∠ADF+∠EDF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠EDF＝∠DAF，∵∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△DAE∽△FDE，∴DE：FE＝AE：DE，又∵DE＝EC，∴EC：FE＝AE：EC，∵∠AEC＝∠FEC，∴△AEC∽△CEF，∴∠FAC＝∠ECF，∵∠ACF＝∠ECF不一定成立，∴∠ACF＝∠FAC不一定成立，∴AF不一定等于FC，即②错误；③如图，过C作CH⊥AE交AE的延长线于H，∴∠DFE＝∠CHE＝90°，∠DEF＝∠CEH，∵DE＝CE，∴△DEF≌△CEH（AAS），∴DF＝CH，∴AF•DF＝AF•CH，∴S△ADF＝S△AFC；④由②得出DE：FE＝AE：DE，即DE2＝AE•EF，∵DE＝CD，∴（）2＝AE•EF，即CD2＝4AE•EF，故④正确；综上，正确的有3个．故选：C．二．填空题13．如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，则斜坡AB的铅直高度BE的长为6米．【解答】解：根据题意，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，即在Rt△ABE中，，∴可有，解得．故答案为：6．14．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝a（x+2）2+c（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y2＜y1＜y3．【解答】解：∵y＝a（x+2）2+c（a＞0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，开口向上，而点B（﹣1，y2）离对称轴最近，点C（2，y3）离对称轴最远，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3．15．若α，β均为锐角，且|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则α+β＝90°．【解答】解：∵|sinα﹣|≥0，（﹣tanβ）2≥0，∴当|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则sinα＝，tanβ＝．又∵α，β均为锐角，∴α＝30°，β＝60°．∴α+β＝30°+60°＝90°．故答案为：90．16．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC＝AD，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴EF＝AF，∴EF＝AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，∴DF＝＝2x，∴tan∠BDE＝＝＝；故答案为：．17．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为．【解答】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，则S△BEO＝6，S△OFA＝1，∴∠BEO＝∠AFO＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOF+∠BOE＝90°，∴∠OBE＝∠AOF，∴△BEO∽△OFA，∴＝6，∴＝，∴tan∠BAO＝＝，故答案为：．18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．在Rt△ABC中，BC＝＝＝10，∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，∴△COP′∽△CBA，∴＝，∴＝，∴OP′＝，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′＝．三．解答题（共14小题）19．计算：；20解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．【解答】解：（1）原式＝2﹣+（﹣4）+1﹣4×＝2﹣﹣4+1﹣2＝﹣1﹣3；（2）3x（x﹣1）＝2x﹣2，则3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足，求a的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3．（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵+﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．22．某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了200名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．【解答】解：（1）此次共调查的学生有：（名）；（2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（名），补全统计图如图1：（3）设“羽毛球”“篮球”“足球”分别为A、B、C，根据题意画树状图如图2：共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种，则P（他俩选择相同项目）＝．23．某网店专售一种杭州亚运会纪念品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品每件获利不得高于50%据市场调查发现，若每件销售价70元，月销售量450件，每增加1元，月销量减少5件．（1）若每件销售价80元，则每月可得利润8000元；（2）设每件商品销售价为x元，该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）若每件销售价80元，则每月可得利润（80﹣60）×（450﹣5×10）＝8000（元），故答案为：8000；（2）设每件商品销售价为x元，则每件的利润为（x﹣60）元，销售量为450﹣5×（x﹣70）＝800﹣5x（件），所以该网店每月获得的利润为w＝（x﹣60）（800﹣5x）＝﹣5x2+1100x﹣48000＝﹣5（x﹣110）2+12500，∵每件获利不得高于50%，∴x≤60×（1+50%）＝90，∵﹣5＜0，∴当x＜110时，w随x的增大而增大，∴当x＝90时，w取得最大值，最大值为10500元．答：当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．25．如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，E为BC上一点，BE＝4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动．连DF，DE，EF，过E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）．（1）当AF＝CE时，试求出BH的长．（2）当F在线段AB上时，设△DEF面积为S，△DEF周长为W．①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，W有最小值．（3）当△BEF与△BEH相似时，求t的值．【解答】解：（1）∵BC＝AD＝9，BE＝4，∴CE＝9﹣4＝5，∵AF＝CE，即：3t＝5，∴，∵EH∥DF，∴∠DFA＝∠EHB，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CBH＝90°，∴△DAF∽△EBH，∴，即，解得：，当AF＝CE，此时；（2）①∵EH∥DF，∴△DFE的面积＝△DFH的面积＝，即；②如图，∵BE＝4，∴CE＝5，根据勾股定理得：，是定值，∴当W最小时DE+EF最小，作点E关于AB的对称点E′，连接DE′，此时DE+EF最小，在Rt△CDE′中，CD＝12，CE′＝BC+BE′＝9+4＝13，根据勾股定理得：DE'＝＝，∴W的最小值为；（3）∵EH∥DF，∴∠AFD＝∠BHE，又∵∠A＝∠CBH＝90°，∴△EBH∽△DAF，∴，即，∴，当点F在点B的左边时，即t＜4时，BF＝12﹣3t，此时，当△BEF∽△BHE时，，即，解得：t＝2；此时，当△BEF∽△BEH时，有BF＝BH，即，解得：；当点F在点B的右边时，即t＞4时，BF＝3t﹣12，此时，当△BEF∽△BHE时，，即，解得：；综上，t＝2或或．26．如图1，在平面直