湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过点，且它的一个方向向量为，则直线l的方程为

A. B. C. D.2.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知圆C的方程为，若点在圆外，则m的取值范围是

A. B.

C. D.4.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点，其中平面，，则该球的表面积为

A. B. C. D.5.若复数为虚数单位，则的最大值是

A. B. C. D.6.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为

A. B. C. D.7.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立8.如图所示，P是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左、右焦点，A为右顶点，圆C是的内切圆，设圆与分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为

A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是(

)A.经过任意两个不同的点，的直线都可以表示为

B.不经过原点的直线都可以用方程表示

C.直线的倾斜角越大，则其斜率越大

D.直线的倾斜角的取值范围是10.如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是

A.若平面，则最小值为1

B.若平面，则，

C.若，则P到平面的距离为

D.若，时，直线DP与平面所成角为，则11.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，P在第一象限，Q在第四象限，则

A.该双曲线的渐近线方程为

B.若，则P到x轴的最大距离为

C.若，则的周长为20

D.点P到两条渐近线的距离之积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆及直线，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为

.13.已知抛物线的焦点为F，Q为圆上的动点，P为C上的动点，则的最小值为

.14.已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P是C在第一象限的图象上的点，记，，，若，则椭圆C的离心率

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知动点M到定点的距离与到定点的距离之比为求动点M的轨迹的方程；过点作曲线的切线l，求切线l的方程．16.本小题15分的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，满足求A；若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求的面积的最小值．17.本小题15分如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面求证：求平面SBC与平面SDC夹角的正弦值.18.本小题17分甲、乙、丙三位羽毛球爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大．19.本小题17分对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.根据上述材料回答下面问题：已知椭圆，右焦点，点在椭圆C上，已知点G是直线上的一个动点，点G对应的极线与椭圆交于点A，若，，，证明：极线AB恒过定点；在的条件下，若该定点为极线AB的中点，求出此时的极线方程；若，，，极线AB交椭圆C于A，B两点，点A在x轴上方，点P、Q分别是椭圆C的左、右顶点，直线AQ、直线BP分别交y轴于M、N两点，点O为坐标原点，求的值.答案和解析1.答案：C

解析：

解：因为直线l的一个方向向量为，

所以，

则直线

l的方程为

，即，

故选：2.答案：B

解析：

解：若方程表示椭圆，

则满足，即，

即且，此时成立，即必要性成立;

当时，满足，

但此时方程等价为，

表示的曲线为圆，不是椭圆，即充分性不成立；

故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：3.答案：D

解析：

解：由题意可得且，解得或，

故选4.答案：A

解析：

解：如图所示：

取BC的中点D，PA的中点E，设球的球心为O，

由于平面ABC，，，，

则，，

过点D作平面ABC，过点E作AP的垂直平分线与DO交于点O，

故点O为三棱锥外接球的球心，

所以外接球的半径，

所以，

故选：5.答案：D

解析：

解：由复数的几何意义可知，表示的点在单位圆上，

而表示该单位圆上的点到复数表示的点Z的距离，

而为坐标原点，单位圆的半径为1，

故的最大值为：

故选：6.答案：A

解析：

解：点F为椭圆C：的左焦点，

，设椭圆C的右焦点为，易知，

点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，

，，

，

又，

，即的最大值为，

此时Q，，P共线且在线段QP上．

故选：7.答案：B

解析：

解：由题意可知，基本事件的总数为，

甲所包含的情况有，，，，，，

乙所包含的情况有，，，，，，

丙所包含的情况有，，，，，

丁所包含的情况有，，，，，，

甲

，乙，丙，丁，

甲丙，甲丁

，乙丙，丙丁，

有甲丁甲丁，

事件甲与事件丁相互独立.

故选：8.答案：D

解析：

解：设圆C与x轴相切于，

由题意可知，，，

所以，

则，

即，即，

所以点A为圆C与x轴的切点，

设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，

因为，所以，

于是，

因为是的角平分线，

所以，所以，

即直线

的斜率为

故选：9.答案：AD

解析：

解：对于A，经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示，故A正确；

对于B，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程表示，故B错误；

对于C，倾斜角为的直线斜率大于倾斜角为的直线斜率，故C错误；

对于D，直线的斜率，则，即，则

故D正确.

故选：10.答案：BC

解析：

解：连接，，BP，，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，，，

则，，

设平面的法向量为，则，

令，则

则，即，

对于A，若平面，则，，

所以，

所以，，当且仅当时取到最小值，A错误;

对于B，因为平面，所以与共线.

又，，

所以，可以得到，，B正确;

对于C，若，则，则，

则P到平面的距离为，C正确;

对于D，若时，，，

则，

当时，

当时，

综上，，D错误.

故选：11.答案：ACD

解析：

解：对选项由双曲线的方程为知，其渐近线方程为，故A正确;对选项设，，又，

则，

即，解得，到x轴的最大距离为，故B错误;

对于C，由双曲线的定义得：

，

所以，

故的周长为，故C正确;

对于D，设，可得，由双曲线的渐近线方程为，

可得点P到两渐近线的距离之积为，故D正确.

故选：12.答案：

解析：

解：根据题意，直线l：，可化为直线l：，

则不论a取何值，直线l恒过定点，记此定点为点P，即，

又由，得点在圆C内，

故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，

可知圆C：的圆心为，

所以，则，

故直线l的方程为：

故答案为：13.答案：3

解析：

解：圆的圆心为，半径为2，

过点P作抛物线准线的垂线，垂足为N，如图所示：

由抛物线的定义可知：，

则，

所以当M，Q，P，N共线且Q在M，P之间时，取得最小值

故答案为：14.答案：

解析：解：设点，则，，且，

可得，易知点、，

所以，，

则，

，，

所以，

所以，则，可得

故答案为：15.答案：解设，由题意得，即，

化简得，

所以动点M的轨迹的方程为；

由知化为标准方程为，圆心为，半径，

若切线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，即直线l方程为，

因为直线l与圆相切，所以，解得，

所以直线l的方程为，

若切线l的斜率不存在，则

所以直线l的方程为或

解析：本题考查与圆相关的轨迹问题，圆的切线方程，属于中档题.

设，根据题中几何关系得，再利用两点间距离公式从而可求解；由求出圆心，半径，设出直线方程，再结合直线与圆相切从而可求解.16.答案：解：因为，

所以，

由正弦定理得，

所以，所以，因为，故平分，，，，即，，由基本不等式可得：，得，当且仅当时取等号，

，

即的面积的最小值为

解析：本题考查了向量平行坐标计算，正弦定理、基本不等式求最值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

由得出等式，再由正、余弦定理即可解出；把的面积用等积法表示可得关系，再利用基本不等式得出bc的最小值，即得面积最小值．17.答案：解：证明：因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，，所以平面SAB，又因为平面SAB，所以；

取AB中点O，为等边三角形且垂直于底面，交线为AB，则，与同理得平面ABCD，又因为，，，可设，则以O为坐标原点，过点O与BC平行的直线为y轴，分别以OB、SO所在直线为x轴和z轴，建立空间直角坐标系，

得，，，，，，；

设平面SBC的一个法向量为，则，

即，可取；

设平面SCD的一个法向量为，则，

即，可取，设平面SBC与平面SDC夹角为，则，

所以平面SBC与平面SDC夹角的正弦值为

解析：本题考查了线线垂直的判定，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.

根据线面垂直的性质可证；

建立空间直角坐标系，分别求出平面SBC与平面SDC的一个法向量，根据平面与平面所成角的向量求法可求.18.答案：解：若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为，②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为，所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为

；

若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，所以甲能获得冠军的概率为，若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为

，若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，

则甲获得冠军的概率即第问的结果，

因为，

所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大.

解析：本题主要考查相互独立事件同时发生得概率，概率的基本性质，属于中档题.若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，分别求出概率，再相加即可；分别求出甲能获得冠军的概率，若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率，若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率，即第问的结果比较大小得出结果.19.答案：解：右焦点