湖北省襄阳市三校联考2024-2025学年高二上学期12月教学交流考试数学试卷（含答案）

高二年级12月教学交流考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（）A． B． C． D．2．在等差数列中，，，则（）A．－2 B．－1 C．0 D．13．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.64．数列满足，则（）A．1 B．2 C．4 D．85．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是（）A．（2，6） B．（3，2） C．（6，4） D．（4，6）6．如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆以外，且线段PF1与椭圆E交于点M．若，则椭圆E的离心率为（）A． B． C． D．8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法不正确的是（）A．若直线的斜率不存在且过点，则直线方程为B．直线过定点C．是直线与直线垂直的充要条件D．是直线与直线平行的充要条件10．如图所示，在棱长为1的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（）A．平面平面B．的最小值为C．若P为线段的中点，则平面与平面夹角余弦值为D．若是线段的中点，则到平面的距离为11．双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（）A．双曲线的焦点到渐近线的距离为B．若，则C．当过点时，光线由所经过的路程为8D．反射光线所在直线的斜率为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设为抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为；若抛物线上一点满足，那么点的纵坐标为_______．13．已知为数列的前项和，，则_______．14．已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知圆C的圆心在直线上，且经过点，．（1）求圆C的方程；（2）求圆C与圆M：的公共弦长．16．某部门组织甲、乙两人同时破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为，．（1）求他们破译出该密码的概率；（2）求甲、乙至多有一人破译出该密码的概率；（3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人？17．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；（2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；（3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？18．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示．（1）求证：平面；（2）设直线与平面所成线面角为，求的最大值．19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求面积的最大值．高二年级12月教学交流考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案ADCCBCCBACDABDABD二、填空题12．413．14．三、解答题15．（1）记点，线段AB的中垂线方程为：圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上所以圆心C的坐标为（2，－2）半径所以圆C的方程为：（2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为：即：圆心M到直线EF的距离，所以，，即公共弦长为，16．记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B，则．（1）“他们破译出该密码”的对立事件为“他们没有破译出该密码”，即“甲没有破译出该密码”与“乙没有破译出该密码”同时发生，所以他们破译出该密码的概率为．（2）“至多有一人破译出密码”记为事件C．（3）设共需要个与甲水平相当的人，则有．即，又，数列是递减数列，所以．故至少需要再增添3个与甲水平相当的人．17．（1）如图所示．依题意，设该抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，所以该抛物线的方程为；（2），焦点，设,则,由解得,,所以，（或：）则；（3）设车辆高为h，则，故，代入抛物线方程，得，解得，所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米．18．（1）因为，则，且，可得，将沿DE折起到的位置，始终有，因为平面，所以平面，由平面，可得，且平面BCDE，所以平面BCDE（2）由（1）可知，，CD，CB两两垂直，翻折后，由勾股定理得，以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，可知设平面的法向量，则，令，则，可得，且，因为直线BM与平面线面角为，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．19．（1）由题意可知：，则，可知动点P的轨迹是以E