2025届广东省广州市高三年级调研测试零模数学试卷（含答案）

★启用前注意保密试卷类型：B2025届广州市高三年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z=52-i,A.3B.3c.5D.52.已知集合A=x|x+3x-1≥0,B=A.[-2,1]B.[-2,1)C.[1,2]D.(1,2]3.已知向量a=(0,5),b=(2,-4),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为A.(-2,4)B.(4,-8)c.(-1,2)D.(2,-4)4.已知sin(α+β)=3m,tanβ=2tanα,则sin(α-β)=A.-mB.mC.0D.2m5.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y.若事件A=“x+y为偶数”,事件B=“x,y中有偶数且x≠y”,则P(A|B)=A.25B.12c.14D数学试卷B第1页(共4页)6.已知点Aπ240在函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的图象上,若fx≤fπ6恒成立，且f(A.-π3B.-π67.已知三棱锥P--ABC中,△PAB是边长为2的等边三角形,PC=2,AC=6BC=2,则三棱锥P-A.6πB.10πC.325π8.已知函数f(x)的定义域为R，且fx+y+fx-yA.-4B.4C.0D.-2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组数据x₁,x₂,…,-1₀是公差为d(d≠0)的等差数列,去掉首末两项后得到一组新数据，则A.两组数据的极差相同B.两组数据的中位数相同C.两组数据的平均数相同D.两组数据的上四分位数相同10.已知抛物线C:y²=4x的准线l与圆M:x²+y-4²=r²r0)相切，P为C上的动点，N为圆M上的动点，过P作I的垂线，垂足为Q，A.r=1B.当△PFQ为正三角形时，直线PQ与圆M相离C.|PN|+|PQ|的最小值为.17-1D.有且仅有一个点P，使得||PM|=|PQ11.设直线y=t与函数fx=xx-3²图象的三个交点分别为.A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<A.f(x)图象的对称中心为(2,2)B.abc的取值范围为(0,12)C.ac的取值范围为(0,4)D.c-a的取值范围为3数学试卷B第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sₙ，且a₁=3,S₃=39,则a13、已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，若在C的左支上存在关于x轴对称的两点P，14.随机将1,2,…,2n(n∈N',n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数,A组最大数为a,B组最大数为b,记ξ=|a-b|.当n=3时,ξ的数学期望E(ξ)=;若对任意n≥2,E(ξ)<c恒成立,则c的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(1)求A;(2)若△ABC的外接圆半径为23,且sinB=2sinC,求△16.(15分)如图1，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,Q₁,Q₂分别为正方形ABCD,A₁B₁C₁D₁的中心,现保持平面ABCD不动,在上底面A₁C₁内将正方形A₁B₁C₁D₁绕点Q₂逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体ABCD--EFGH.(1)证明:EF(2)设Q₁Q₂的中点为O，求点O到平面DBE的距离；(3)求平面DBE与平面DBG所成角的余弦值.数学试卷B第3页(共4页)17.(15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab>0)(1)求椭圆C的方程；(2)已知M(-1,0),N(1,0),点P为椭圆C上一点,设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设PM=λ1MB,PN=λ18.(17分)已知函数f(1)若直线y=-ax+b+1为曲线y=f(x)的一条切线,求实数b的值;(2)若对任意的x∈R,函数f(x)≥0恒成立,且.f-1≤e⁻¹+α,求实数(3)证明:当n∈N°.且n≥2时,n19.(17分)在正整数1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列.A:a₁,a₂,……,an中，对于任意i,j∈N*,i<j,若a₁<a,,则称(a₁,a,)为一个顺序对,若ai>aj,则称((a₁,a,)为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为S(A)，逆序对的个数为N(A).例如对于排列A：2，1，3，S(A(1)设排列B:2,4,1,3和C:5,3,1,4,2,试写出S(B),N(B),S(C),N(C)的值;(2)对于正整数1,2,…,n(n≥2)的所有排列A,求满足S(A)=2的排列个数;(3)如果把排列.A:a1,a2,⋯,ae中两项数学试卷B第4页(共4页)2025届广州市高三年级调研测试数学试题参考答案及评分标准评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案CDAACBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的给6分，有选错的给0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分；有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。9.BC10.AC11.ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3"13.3+114.3说明：第14题第一空3分，第二空2分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)只需展开，没化简也给1分(1)解:依题意得3asinC+a由正弦定理可得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC……………2分=sin(A+C)+sinC……3分=sinAcosC+sinC(cosA+1).得3sinAsinC=sinC(cosA+1),因为sinC>0,所以.3sinA-cosA=1,……4分即1范围没写，答案对给分因为A∈(0,π),所以A-π6=π6,(2)解：由正弦定理可得2R=asinA,得a=由sinB=2sinC,得b=2c,①…………………8分由余弦定理可得c2+b联立①②可得c=23,b=43.两个等式各所以△ABC的面积S=12bcsinA=16.(15分)(1)证法1:过点E,F分别作平面ABCD的垂线,分别交平面ABCD于点M,N,连接MN,则EM∥FN且EM=FN,…………………1分则四边形EMNF为平行四边形.……………2分所以EF∥MN.……………3分又EF⊄平面ABCD,MN⊂平面ABCD,不写的扣分所以EF∥平面ABCD.……………4分证法2:由条件知,在旋转过程中平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD,此处1分即平面EFGH∥平面ABCD.又EF⊂平面EFGH,…………………3分……………………2分所以EF∥平面ABCD.…………………4分证法3：以点Q₁为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，向量写对1分则………………1分取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1),……………2分因为EF.n=0,EF⊄平面ABCD,……………3分所以EF∥平面ABCD.……4分(2)解：以点Q₁为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，B(1,1,0),E(2,0,2),D(-1,-1,0),O(0,0,1),有写对就给分5分BE=2-1-12,DB=220,OB2则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7令x=1,得y=-1,z=-所以平面DBE的一个法向量为分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8公式写对9分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10(3)解:G设平面DBG的法向量为n=(x,y,z),则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11令x=1,得y=-1,z=所以平面DBG的一个法向量为分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12得分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1517.(15分)（1）解：因为椭圆C的长轴长与短轴长之和为6，则2a+2b=6,⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分即a+b=3,①求对离心率1分又因为结合可得②分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3联立①②解得a=2,b=1.………………4分两个式子求对1个给1分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)解法1:设P(x₀,y₀),B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),当P在椭圆的长轴顶点时,由对称性可设P（2,0）,则B（-2,0）,D（-2,0）⋯⋯⋯63PM=3MB,PN=13当P不在椭圆的长轴顶点时，设直线PM的方程为x=ty-1，其中t=x0+1y联立x=ty-1x24+显然Δ>0.根据韦达定理可知y0y1因为PM所以-1-x₀-y₀=λ₁x₁+1λ1=-y0只看结果设直线PN的方程为x=my+1,其中m=x0-1同理可得λ2=-y所以λ=因为x02+4所以λ1+λ2综上所述，λ1+λ解法2：椭圆C:当直线PM，PN中有一条直线斜率不存在，4不失一般性，考虑PN的斜率不存在，取P则kPM=34,直线F肖去y，得74由韦达定理，x分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6PMPM=λ1MB=6由椭圆的对称性知，N为PD中点，PN那么只看结果分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7当直线PM，PN的斜率均存在，设.PM:y=k₁（x+1）,PN:y=k₂（x-1）,分⋯⋯⋯⋯⋯⋯8设P点P（x₀,y₀）代入椭圆,有得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9联立x24+y2=1显然Δ>0.由韦达定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯105=-5x0-82x彳y所以点B由PM=λ1MB,得(λ1=-y0y1=-联立消去y,得(4k由韦达定理，y由PN=λ2ND,得λ2所以λ综上，λ1解法3：椭圆C:6P由PM=λ1得í分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7两个式子各1两个式子各1分把P(x₀,y₀),B(x₁,y₁)代到椭圆C中，有此处方程组为8分点x024+y两式相减得分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10因为得分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11PN=λ2í分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12把P(x₀,y₀),D(x₂,y₂)代入到椭圆中，有x分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13两式相减，得2x₀-1-λ₂得分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1518.(17分)(1)解:设直线y=-ax+b+1与曲线f(x)相切的切点为(x₀,y₀),7又f'x=eˣ-由条件得：y0=-ax0+b+1,解得x0=0,b=-12(2)证明:由f-1=e⁻¹+a+1-b-1≤e⁻¹+a,得b≥0.只看结果…当x=0时,f(0)=-b≥0,得b≤0,所以b=0.只看结果…………6分所以.f由f'x=eˣ-a+1=0,得x=ln(a+当x∈(-∞,ln(a+1))时,f'(x)<0,f(x)单调递减;讨论必须完整才给分当x∈(ln(a+1),+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增；·8分所以fxₘᵢₙ=eˡⁿ⁽ᵃ⁺¹⁾-a+1lna+1-1≥0,即a-(a+1设g(a)=a-(a+1)lnb+1),g'(a)=-1nθ+1)当a∈(-1,0)时,g'(a)>0,g(a)单调递增;当a∈(0,+∞)时,g'(a)<0,g(a)单调递减;所以g(a)≤g(0)=0,当且仅当a=0等号成立,完整才给分10分又g(a)≥0,得g(a)=0,所以a=0.……11分此不等式对就给12分(3)证明:由(2)知,令a=b=0,得(eˣ-x-1≥0,即eˣ>x+l(x≠0).…12分令x=-knk=12⋯n-1所以-kn>lnn-kn所以-nn-12n此不等式对就给15分8所以e-n-12所以nn-1n-1!19.(17分)每个等式1分(1)解:S(B)=3,N(B)=3,S(C)=3,N(C)=7.……4分(2)解法1:对于正整数1,2,…,n(n≥2)的所有排列A,设其中满足S(A)=2的排列个数为cn,满足S(A)=1的排列个数为bn.考虑排列A中数字1的位置，当1在第n位时，要使得S(A)=2，则需要前面n-1位共产生2个顺序对；当1在第n-1位时，要使得S(A)=2，则需要其它n-1位共产生1个顺序对；当1在第n-2位时，要使得S(A)=2，则需要其它n-1位共产生0个顺序对；当1在其它位置时，不满足S(A)=2.因此，cₙ=cₙ₋₁+bₙ₋₁+1.只看结果……………6分只看结果再考虑满足S(A)=1的排列个数，同理有bₙ=bₙ₋₁+1.·7分因为b₂=1,所以bₙ=n-1.cₙ先考虑一个特殊排列.A₀:n,n-1,…,2,1,此时SA₀=0.若把A₀中相邻两项a+1,a交换位置为(a,a+1,其他项位置不变，得到新排列的顺序对数增加1个；若把A₀中不相邻的两项交换位置，其他项位置不变，如果该两项中间有k项，则得到新排列的顺序对数增加2k+1个，故要得到顺序数对个数为2的排列，可以对排列A从A₀中相邻项数对(n,n-1),(n-1,n-2),…,(3,2),(2,1)(共有n-1对)中任选2对,共有Ca-1种,其中选的2对相邻项数对有共同数字(如(k,k-1),(k-1,k-2))的有n-2种,没有共同数字的有Cn-12-n+29若所选的两个相邻项数对没有相同数字，则分别把这两个相邻项数对里的两项交换位置，如把(m,m-1),(n,n-1)交换为(m-1,m),(n-1,n),其他项的位置不变，则新排列的顺序对个数为2.只看结果……………7分若所选的两个相邻项数对有相同数字的，则可把((k,k-1),(k-1,k--2)交换位置为(k-1,k-2),(k-2,k)或者交换位置为((k-2,k),(k,k-1),其他项的位置不变，则新排列的顺序对个数为2.这种情况有2(n-2)种,只看结果…………8分综上，满足顺序对个数为2的排列个数为第一个等式正确给分Cn-12-解法3：对正整数1，2，…，n的任意一个排列.A:a₁,a₂,…,an中,记bk(k=1,2,…,n)表示元素k在排列A中与元素k所在排列A中位置之前所有元素构成顺序数对的个数，显然b₁=0,b则S例如,对排列A:1,3,2,有b₁=0,b₂=1,b₃=1,S对正整数1，2，…，n的任意一个排列A:a₁,a₂,…,an,使S(A)=2的排列个数,只需考虑bn+b因为b所以此方程的第一类解:存在k∈{3,4,…,n},使得bₖ=2,其余bᵢ=0(i≠k),共有组解；只看结果………7分此方程的第二类解:存在i,j∈{2,3,…,n}(i<j),使得bᵢ=bⱼ=1,其余bₖ=0(k≠i,k≠j只看结果所以此方程共有Cn-21+下面说明每一组解恰对应唯一的一个排列.A:a₁,a₂,…,an10(i)若bₖ=2(k∈{3,4,…,n}),其余b₁=0(i≠k),则恰好对应唯一的满足bk=2,S(A)=2的排列A:n,(n-1),…,(k+1),(k-1),(k-2),k,…,2,1;讨论不完整扣1分(ii)若b₁=b,=1(i,j∈{2,3,…,n}(i<j)),其余bₖ=0(k≠i,k≠j),则恰好对应唯一的满足bᵢ=bⱼA:n,(n-1),j,…,(j+1),(j-1),…,(i+1),(i-1),i,…,2,1所以使S(A)=2的排列个数为12n-2n+1解法4：将正整数1,2,…,n全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1,显然S(A)=0,为了使S(A)=2,现需将A:n,(n-1),(n-2),…,2,1中的某些元素调换位置使得满足题意.根据定义可知:在S(A)=0的全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1中,将排列中的某一个元素k(k≠1)，从原先位置向右移动1个位置，就可以得到A':n,(n-1),…(k+1),(k-1),k,(k-2),…,2,1,S(A')=1.操作方式一：对某一个元素k(k≠1，2)从原先位置向右移动2个位置，得到A':n,(n-1),…(k+1),(k-1),(k-2),k,(k-3),…,2,1,!则S这种操作共有CH₂₂种不同方法；只看结果………………6分操作方法二:对两个元素i,j(i≠1,j≠1,i<j),先将元素i从原先位置向右移动1个位置，再将元素j向右移动1个位置，得到A₂:n,(n-1),…,(j+1),(j-1),j,…,(i+1),(i-1),i,…,2,1,则SA2m=2,这种操作共有若对全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1中的某个元素向右移动次数超过2次得到新排列A",根据定义,S(A")≥3;对全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1(中的超过2个元素向右移动得到新排列A，同理可以判断S(A)≥3.·只看结果·…9分所以使S(A)=2的排列个数为Cn-21+(3)证法1:由定义可知，SA+NA=Cn2两个式子对一个就给分11因此[S(A)-S(A')]=-[N(A)-N(A')],则SA-SA下证S(A)-S(A')为奇数:(i)当a₁,a,相邻时,排列A'为(a₁,a₂,…,a₁-1,ai+1,aᵢ,aᵢ+₂,…,an,此时排列A'与排列A相比，仅是多了或者少了一个顺序对，所以S(A)-S(A')=±1为奇数；正负1各给1分…14分(ii)当aᵢ,aⱼ不相邻时,设aᵢ,aⱼ之间有m项,记排列A:a₁,a₂,…,a₁,k₁,k₂,…,km,aⱼ,…,