2024-2025学年陕西省榆林市高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省榆林市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(0,2)，B(3,1)，则直线AB的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π32.若直线4x+y−2=0是圆x2+y2A.(0,1) B.(0,−1) C.(0,2) D.(0,−2)3.“直线x+my−1=0与直线(3m−4)x−my−1=0平行”是“m=1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆C：x29+y28=1与双曲线E：A.y=±22x B.y=±14x5.过抛物线C：y2=4x焦点F的直线交C于M、N两点，过点M作该抛物线准线的垂线，垂足为P，若△PMF是正三角形，则|MN|=(

)A.203 B.163 C.836.已知椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点PA.2 B.22 C.4 7.已知两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4的内部，则实数A.−15<k<−1 B.−15<k<18.若椭圆x2a2+y2b2A.13 B.12 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知关于x，y的方程x2k−1−y2k−3=1表示的曲线是A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆10.若圆C1：x2+y2−2x−2y=0与圆C2：x2A.公共弦PQ所在直线方程为x+y−1=0

B.线段PQ中垂线方程为x−y+1=0

C.过点(0,2)作圆C1：x2+y2−2x−2y=0的切线方程为y=x+2

D.若实数x，y满足圆C11.已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1、F2分别为双曲线C：x24−y25=1的左、右焦点，过C右支上一点A(x0,y0A.双曲线C的离心率为32

B.直线MN的方程为4x0x−5y0y=20

C.过点F1作F1H⊥AM，垂足为H三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l1：3x+y−1=0与直线l2：6x+2y−3=0间的距离是______．13.设P是抛物线y2=8x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若点A(4,4)，则|PA|+|PF|的最小值为______．14.如图，半径为1的圆P与x轴和y轴都相切.当圆P沿x轴向右滚动，圆P滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为M；当圆P沿y轴向上滚动，圆P滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为N.若直线与圆M和圆N都相切，且与圆P相离，则直线l的方程为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l过定点A(2,3)．

(1)若直线l与直线x+2y−3=0垂直，求直线l的方程；

(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．16.(本小题15分)

已知圆M经过三点A(2,0)，B(2,4)，C(4,2)．

(Ⅰ)求圆M的方程；

(Ⅱ)若过点D(1,4)的直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=23，求直线l的方程．17.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为52.设直线l交双曲线C的右支于A、B两点，交x轴于点D，且线段AB的中点为M(4,1)，O为原点．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=4x，过点M(t,0)(t>0)的直线与抛物线C交于A，B两点，O为原点，直线AO交抛物线C的准线于点D．

(Ⅰ)若OA⊥OB，求实数t的值；

(Ⅱ)是否存在正数t，使得|AM||AD|=|AO||AB|，若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过△PAB的三个顶点P(1,32)，A，B，当直线PA垂直于x轴时，直线PA过椭圆E的一个焦点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(参考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.1013.6

14.x+y−4−15.解：(1)∵直线x+2y−3=0的斜率为−12，

∵直线l与直线x+2y−3=0垂直，

∴直线l的斜率为2．

又∵直线l过点A(2,3)，

∴直线l的方程为y−3=2(x−2)，即2x−y+1=0，

(2)当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa+ya=1，即x+y=a，

∵直线l过点A(2,3)，∴a=2+3=5，∴直线l的方程为x+y−5=0，

直线l过原点时，设直线l的方程为y=kx，

∵直线l过点A(2,3)，∴k=3−02−0=32，∴直线l的方程为y=316.解：圆M经过三点A(2,0)，B(2,4)，C(4,2)．

(Ⅰ)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

可得4+2D+F=04+16+2D+4E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得D=−4E=−4F=4，

故圆M的方程为x2+y2−4x−4y+4=0；

(Ⅱ)x2+y2−4x−4y+4=0⇒(x−2)2+(y−2)2=4，

故圆M的圆心为M(2,2)，半径为2，

当直线l的斜率存在时，设l：y−4=k(x−1)，

圆心M(2,2)到l：y−4=k(x−1)的距离d=|2−4−k|1+k2=|k+2|1+k2，

由PQ=222−d217.解：(Ⅰ)不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，双曲线的一条渐近线为y=−bax，即bx+ay=0，

∵焦点到渐近线的距离为1，∴|bc|b2+a2=1，又c2=a2+b2，解得b=1，

∴e=ca=1+b2a2=52，可得a2=4，

则双曲线C的方程为x24−y2=1；

(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∵线段AB的中点为M(4,1)，∴x1+x2=8，y1+y2=2，

又x124−y18.解：(Ⅰ)由过点M(t,0)(t>0)的直线与抛物线C交于A，B两点，

可知直线AB斜率不为0，

设直线AB的方程为：x=my+t，与抛物线的方程y2=4x联立，

可得y2−4my−4t=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由韦达定理可得y1y2=−4t，

x1x2=y124⋅y224=(y1y2)216=t2，且Δ=16m2+16t>0恒成立，

因为OA⊥OB，所以OA⋅OB=(x1,y1)⋅(x2,y2)=0，

所以x1x219.(Ⅰ)解：由题意，可得c=1，