2023学年乌鲁木齐市六校高二数学第一学期期末联考试卷附答案解析

学年乌鲁木齐市六校高二数学第一学期期末联考试卷考试时间120分钟，总分150分第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线的倾斜角为（）．A. B. C. D.2.空间四边形中,点在上,且,中点,则等于()A. B.C D.3.设、，向量，，且，，则（）A. B. C. D.4.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A B. C. D.5.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A B.2 C. D.7.已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（）A. B. C.1 D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于点M，，则椭圆的离心率为（）A B. C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，多选、错选得0分，不全得2分）9.已知，，，则（）A. B.C.若，则 D.若，则，10.下列直线中，与圆相切的有（）A. B. C. D.11.下列关于双曲线的判断，正确的是（）A.顶点坐标为 B.焦点坐标为C.实轴长为 D.渐近线方程为12.为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌､实际行动，践行“航空报国､航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（）A.椭圆的长轴长为B.线段AB长度的取值范围是C.的周长为D.不算椭圆在x轴上的端点，x轴上方椭圆上存在2个点A，使得第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________．14.求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．15.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为______.16.已知四边形为矩形，平面，设，则平面与平面夹角的余弦值为________.四、解答题17.已知点，直线.（1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程；（2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程.18.已知圆的圆心坐标为，且经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆交于、两点，求线段的长度．19.在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．（1）证明：平面；（2）求到面的距离．20.已知抛物线C的顶点为，焦点为．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的面积．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点Q是PC的中点．（1）求证：平面BDQ；（2）在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？22.已知椭圆，长轴长为4，离心率是（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为且不过原点的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线于点D.若证明：直线经过定点，并求出定点坐标.2023学年乌鲁木齐市六校高二数学第一学期期末联考试卷考试时间120分钟，总分150分第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线的倾斜角为（）．A. B. C. D.【答案】C【分析】根据直线方程可得直线的斜率，进而即得.【详解】设直线的倾斜角为，将化为，则，，∴．故选：．2.空间四边形中,点在上,且,为中点,则等于()A. B.C. D.【答案】B【分析】按照向量运算律计算即可【详解】因为,所以因为为BC中点,所以所以故选：B3.设、，向量，，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.4.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D5.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系的判断方法求得正确答案.【详解】圆的圆心坐标为，半径，圆圆心坐标为，半径，因为，所以圆与圆内切.故选：D6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B.2 C. D.【答案】A【分析】写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离计算．【详解】抛物线的焦点坐标是，双曲线的渐近线方程是，所求距离为．故选：A．7.已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（）A. B. C.1 D.【答案】D【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.【详解】设该弦为，设，则有，两式相减，得，因为双曲线C的一条弦的中点为，所以，因此由，即这条弦所在直线的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以该弦存在，故选：D8.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于点M，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先根据题意画出椭圆的图像，再求出点M的坐标，进而利用得到离心率.【详解】如图，不妨设点M为第二象限的点，直线与x轴交于点.，于是，，.，又，，则由,得，即，于是.所以椭圆的离心率.故选:C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，多选、错选得0分，不全得2分）9.已知，，，则（）A. B.C.若，则 D.若，则，【答案】ACD【分析】A选项，根据坐标运算公式计算即可；B选项，根据模的公式计算；CD选项，根据向量垂直和平行的坐标关系计算.详解】，所以，故A正确；，所以，故B错；因为，所以，解得，故C正确；因为，所以，即，解得，故D正确.故选：ACD.10.下列直线中，与圆相切的有（）A. B. C. D.【答案】BC【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.【详解】圆的圆心为，半径．对于选项A，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交；对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．故选：BC.11.下列关于双曲线的判断，正确的是（）A.顶点坐标为 B.焦点坐标为C.实轴长为 D.渐近线方程为【答案】ACD【分析】确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误.【详解】对于双曲线，，，则，对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对；对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错；对于C选项，双曲线的实轴长为，C对；对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对.故选：ACD.12.为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌､实际行动，践行“航空报国､航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（）A.椭圆的长轴长为B.线段AB长度的取值范围是C.的周长为D.不算椭圆在x轴上的端点，x轴上方椭圆上存在2个点A，使得【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出椭圆短半轴长、半焦距，求出长轴长判断A；求出OA长范围判断B；利用椭圆定义求出焦点三角形周长判断C；计算判断D作答.【详解】依题意，半椭圆所在椭圆的半焦距，短半轴长，得长半轴长，则长轴长，A正确；，因此，B正确；因点F，G是椭圆的两个焦点，则的周长，C正确；显然，在中，，因此不可能为直角，除椭圆在x轴上的端点外，x轴上方椭圆上不存在点A，使，D不正确.故选：ABC第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________．【答案】或.【分析】设点，根据抛物线的定义，得到，求得，代入抛物线方程，求得，即可求解.【详解】设抛物线上与焦点的距离等于6的点为，即，由抛物线，可得焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，即，解得，将代入抛物线方程，可得，解得，所以点的坐标为或.故答案为：或.14.求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．【答案】或【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解【详解】当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设直线方程为，则有，解得，故直线方程为，即，综上所述，所求直线方程为或．故答案为：或．15.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为______.【答案】4【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4.【详解】根据椭圆定义可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面积为.故答案为：416.已知四边形为矩形，平面，设，则平面与平面夹角的余弦值为________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】由题意，两两垂直，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面、平面的法向量分别为，则有和取，可得，则.即平面与平面的夹角的余弦值为.故答案为：四、解答题17.已知点，直线.（1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程；（2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用点坐标求得正确答案.（2）利用点斜式求得所求直线的方程.【小问1详解】设经过点P且与直线l平行的直线的方程为，将代入得，所以所求直线方程为小问2详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为，所以经过点P且与直线l垂直的直线的方程为，即.18.已知圆的圆心坐标为，且经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆交于、两点，求线段的长度．【答案】（1）（2）【分析】（1）求出圆D的半径，即可得圆的标准方程；（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.【小问1详解】由题意可得：圆D的半径，所以圆D的标准方程为；【小问2详解】由（1）可知圆心，半径，则圆心到直线l：的距离，所以.19.在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．（1）证明：平面；（2）求到面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可；（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以，又因为，所以，所以平面.【小问2详解】由（1）知平面的法向量为，又因为，所以到面的距离为．20.已知抛物线C顶点为，焦点为．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点和焦点坐标求出抛物线C的标准方程.（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，即可求出的面积．小问1详解】抛物线C的顶点为，焦点为，所以抛物线C的标准方程为：.【小问2详解】由消去y得，设，则，，所以，点到直线的距离，所以的面积21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点Q是PC的中点．（1）求证：平面BDQ；（2）在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？【答案】（1）证明见解析（2）当时存在,；当时不存在.【解析】【分析】（1）连接AC，