2023学年宜春市丰城九中高三数学上学期期末考试卷附答案解析

学年宜春市丰城九中高三数学上学期期末考试卷考试时间：120分钟满分：150分2024.1一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若方程表示一个圆，则m可取的值为（）A0 B.1 C.2 D.33.设内角A，B，C对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.4.已知，则“”是“”成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（

）A.1 B. C. D.6.已知圆锥的底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.7.为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（）A. B. C. D.8.已知函数，若方程有三个不同的根，则（）A.4 B.3 C.2 D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9.甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（）A.甲、乙的第70百分位数相等B.甲的极差比乙的极差小C.甲的平均数比乙的平均数大D.甲的方差比乙的方差大10.已知椭圆：（）和：（），则（）A.与的长轴长相等 B.的长轴长与的短轴长相等C.与的离心率相等 D.与有4个公共点11.如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（）A.对任意点，平面B.三棱锥与正方体的体积比为1：3C.线段长度的最小值为D.存在点P，使得DP与平面所成角大小为12.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A.四位回文数有90个B.四位回文数有45个C.（）位回文数有个D.（）位回文数有个三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若抛物线上一点到焦点的距离为，则____．14.已知与具有相关关系，且利用关于回归直线方程进行预测，当时，，当时，，则关于的回归直线方程中的回归系数为__________.15.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________.16.已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为____________．四、解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共60分）17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.18.已知数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）2020年1月，统计了该地一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码x）123456人均月纯收入入y（元）275365415450470485由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？参考数据：；；线性回归方程中，，．20.如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．21.已知椭圆经过点，左焦点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.22已知函数．（1）设是函数的极值点，求m的值，并求的单调区间；（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围．2023学年宜春市丰城九中高三数学上学期期末考试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对集合化简，然后求出即可.【详解】因为，解得，因为，解得，所以，，所以,故选：D.2.若方程表示一个圆，则m可取的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可.【详解】由方程分别对进行配方得：，依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足.故选：D.3.设的内角A，B，C对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】因，所以，由，得，所以.故选：B.4.已知，则“”是“”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分析“”和“”范围的包含关系，由此得出正确选项.【详解】由可知，而由“”得；故“”的范围是“”范围的真子集，所以是充分不必要条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分数分母不为零，属于基础题.5.已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（

）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】由，向量在向量上的投影向量为，故D正确.故选：D.6.已知圆锥底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件求出圆锥的底面半径r，母线长，从而求得圆锥外接球的半径及球的表面积.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得，所以，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，得，易知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其外接圆的半径R即圆锥外接球的半径，所以，故该圆锥外接球的表面积，故选：B7.为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平均数的性质即可求解.【详解】样本中全体人员的平均身高约，故选：C8.已知函数，若方程有三个不同的根，则（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案.【详解】由题意，因为，所以为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称.而所表示的直线也关于点对称，所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9.甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（）A.甲、乙的第70百分位数相等B.甲的极差比乙的极差小C.甲的平均数比乙的平均数大D.甲的方差比乙的方差大【答案】AB【解析】【分析】根据百分位数、极差、平均数和方差相关概念直接求解即可.【详解】对于A，因为，所以甲的环数的70百分位数是，乙的环数的70百分位数是，故A正确；对于B，甲的极差为，乙的极差为，故B正确；对于C，甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的平均数小，故C错误；对于D，根据题中数据可知，甲数据分布更集中，而乙数据分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D错误.故选：AB10.已知椭圆：（）和：（），则（）A.与的长轴长相等 B.的长轴长与的短轴长相等C.与的离心率相等 D.与有4个公共点【答案】BC【解析】【分析】化为标准方程，求出相关长轴和短轴长以及离心率一一分析即可.【详解】椭圆：（），即，椭圆（），，则的长轴长为，短轴长为，的长轴为，短轴为，故A错误，B正确；的离心率为，的离心率，故C正确；因为的长轴长与的短轴长相等，且的焦点在轴上，的焦点在轴上，则与有2个公共点，故D错误.故选：BC.11.如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（）A.对任意点，平面B.三棱锥与正方体的体积比为1：3C.线段长度的最小值为D.存在点P，使得DP与平面所成角大小为【答案】ACD【解析】【分析】证明平面平面判断A正确；直接求出棱锥的体积判断B；当时，为中点，此时线段长度取最小值，求出最小值判断C；求出与平面所成角的正弦值的范围判断D．【详解】解：连接，，由，且，得四边形为平行四边形，，由平面，平面，得平面，同理平面，又，可得平面平面，平面，对任意点，平面，故A正确；，，所以，故B错误；线段在△中，当时，最小，此时点为的中点，在中，，故的最小值为，故C正确；当在线段上运动时，长度的最小值为，最大值为，在正方体中，平面平面，平面，则即为DP与平面所成角，在中，，则与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，则存在点，使得与平面所成角的大小为，故D正确．故选：ACD．12.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A.四位回文数有90个B四位回文数有45个C.（）位回文数有个D.（）位回文数有个【答案】AC【解析】【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】根据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误；对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第个数字，即最中间的数字有10种选法，则共有种选法，即（）位回文数有个，故C正确，D错误.故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若抛物线上一点到焦点的距离为，则____．【答案】【解析】【分析】利用焦半径公式求解.【详解】点到焦点的距离为,则，解得故答案为：14.已知与具有相关关系，且利用关于的回归直线方程进行预测，当时，，当时，，则关于的回归直线方程中的回归系数为__________.【答案】5【解析】【分析】由题意设出回归直线方程，由待定系数法即可得解.【详解】设关于的回归直线方程为，由题意得，解得，即回归系数为5.故答案为：5.15.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________.【答案】(0，)【解析】【分析】对函数求导后，由题意可知在有2个不同的零点，从而可得方程在上有两个不同的实根，再结二次函数的性质可求得结果【详解】解：因为函数有两个不同的极值点，所以在有2个不同的零点，所以方程在上有两个不同的实根，所以，解得，故答案为：(0，)16.已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为____________．【答案】【解析】【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，过原点作圆的切线，切点为，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.【详解】因为，根据复数的几何意义，可得复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，如图所示，过原点作圆的切线，切点为，在直角中，可得，所以，且，所以，所以复数向量扫过的面积为.故答案为：.四、解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共60分）17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.【答案】（1）（2）2【解析】分析】（1）利用降幂公式及两角和正弦公式化简得，根据最小正周期公式即得.（2）由（1）得，利用正弦面积公式与余弦定理得到，再借助正弦定理得结果.【小问1详解】，的最小正周期；【小问2详解】由，可得，又，，，，由，得，由余弦定理得：，得，由正弦定理得外接圆的半径.18.已知数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解；（2）分组求和方法求解.【小问1详解】设等差数列的公差为，又，，所以，解得，，所以的通项公式.【小问2详解】由（1）知，所以.19.2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码x）123456人均月纯收入入y（元）275365415450470485由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？参考数据：；；线性回归方程中，，．【答案】（1），4.72（2），630（元）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求解；（2）最小二乘法求回归直线方程,并利用回归方程估计.【小问1详解】，平均数.【小问2详解】，，，，，所以回归直线方程为：，当时，（元）。20.如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）依次证得四边形与四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）依题意建立空间直角坐标系，利用待定系数法求得点的坐标，进而求得平面与平面的法向量，再利用空间向量法即可得解.【小问1详解】连结，交于点，连结，在平行六面体中，，是的中点，所以四边形平行四边形，又点为中点，则且，所以四边形是平行四边形，从而，因为平面，，所以平面.【小问2详解】以为原点建立如图所示的坐标系，则，，设点为，其中，则，，，因为，，，所以，即，解得，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，设二面角为，则，所以，则，所以二面角的正弦值为.21.已知椭圆经过点，左焦点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】