2023-2024学年广东省深圳实验学校高中园高一上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳实验学校高中园2023-2024学年度第一学期期中考试高一数学第一卷一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，都有”否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得3.“”是“关于x的方程有实数解”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.5.函数的图象是（）A. B.C. D.6.已知函数，有，则实数（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或47.以下结论正确的是（）A.若且，则B.正实数满足，则的最小值是C.的最小值是D.函数的最小值是8.已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，且，恒成立，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是奇函数又是增函数是（）A. B. C. D.10.下列命题为真命题的是()A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.关于函数的性质描述，正确的是（）A.的定义域为B.的值域为C.在定义域上是增函数D.的图象关于轴对称12.设函数，其中表示中最小者，下列说法正确的有（）A.函数为偶函数 B.不等式解集为C.当时， D.当时，第二卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数，则__________．14.已知幂函数在区间上是减函数，则的值为__________．15.若正数、满足，则的最小值为______.16.设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为_________．四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．19.已知定义域为的奇函数，且时，.（1）求当时，函数的解析式；（2）求证：在上为增函数.20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?21.设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．（1）求t和a的值；（2）若，求实数k的取值范围；22.设函数，．（1）对于任意都有成立，求的取值范围；（2）当时对任意，恒有，求实数的取值范围；（3）若存在，使得与同时成立，求实数的取值范围．深圳实验学校高中园2023-2024学年度第一学期期中考试高一数学第一卷一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集、补集运算,即可求解.【详解】解：，,故选:A2.命题“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.【详解】命题“，都有”的否定是“，使得”.故选：D.3.“”是“关于x方程有实数解”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】解出不等式，然后判断即可【详解】因为关于x方程有实数解所以，即或所以“”是“关于x的方程有实数解”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题.4.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数，的单调性比较大小即可【详解】解：因为函数在区间上单调递增，所以，即，因为函数在上单调递减，所以，即，所以故选：D5.函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化函数为分段函数，再根据各段函数式的特点即可判断作答.【详解】依题意，原函数化为：，其定义域为，显然当时，图象是经过点的直线在y轴右侧部分，当时，图象是是经过点的直线在y轴左侧部分，根据一次函数图象知，符合条件的只有选项B.故选：B.6.已知函数，有，则实数（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或4【答案】D【解析】【分析】由分段函数求值运算可得方程，求解即可详解】，，即，解得或.故选：D7.以下结论正确的是（）A.若且，则B.正实数满足，则的最小值是C.的最小值是D.函数的最小值是【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式的知识逐一判断即可.【详解】当时，，当时，，故A错误；因为，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，所以的最小值为，故B正确；因为与不能相等，所以的最小值不是，故C错误；因为，当且仅当，即时等号成立，所以，，故D错误故选：B8.已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，且，恒成立，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得知，函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，由此可得出该函数在上单调递减，，由分类讨论即可.【详解】，函数的图象关于直线对称，该函数图象经过点，则，且有，对任意，且，恒成立，可设，则，，即.所以，函数在上单调递增，由此可得该函数在上单调递减，当时，符合题意；当时，即时，则有，由于函数在上单调递减，由，得，此时；当时，即时，则有，由于函数在上单调递增，由，得，此时，综上所述，不等式的解集为.故选：D.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据奇函数的定义和增函数的定义逐个分析判断即可.【详解】对于A，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，所以A不符合题意，对于B，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，在上为增函数，所以B符合题意，对于C，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，因为在上为增函数，所以C符合题意，对于D，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，因为，所以函数在不是增函数，所以D不符合题意，故选：BC10.下列命题为真命题的是()A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据不等式性质逐一判断命题真假即可.【详解】对于选项A：因为，显然，由不等式可知，，故A正确；对于选项B：因为，由不等式性质可知，，故B正确；对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C错误；对于选项D：因为，由不等式性质可知，，故D错误.故选：AB.11.关于函数的性质描述，正确的是（）A.的定义域为B.的值域为C.在定义域上增函数D.的图象关于轴对称【答案】AB【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.【详解】对于A中，由，解得即为函数的定义域，故A正确；对于B中，由定义域可化简函数得，当时，；当时，，所以，故B正确；对于C中，因为，所以函数不是增函数，故C错误；对于D中，因为定义域关于原点对称，且对任意，，所以函数是奇函数，故D错误，故选：AB.12.设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数为偶函数 B.不等式的解集为C.当时， D.当时，【答案】AC【解析】【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．【详解】作出函数的图象，如图实线部分．由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；，再计算得，解集为，B错；时，即为，即，成立时，即为，即，成立，时，即为，即，成立，时，，，由在上递增，得成立．C正确；由B选项知时，，成立，时，，，不等式为，，不成立．D错误．故选：AC．第二卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数，则__________．【答案】【解析】【分析】利用换元法求出的解析式，代入数字即可求解.【详解】，令，则，，即，.故答案为：.14.已知幂函数在区间上是减函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质得，由此即可得解.【详解】因为是幂函数，

所以，即，

解得或，

又幂函数在区间上是减函数，

所以，故，

故答案为：．15.若正数、满足，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意得，进而利用基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为正数、满足，所以，且所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：16.设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】当时，由二次函数性质可知无最大值；当时，，无最大值；当时，分别在两段区间内求得的取值范围，根据有最大值可构造不等式求得结果.【详解】当时，开口方向向上，此时无最大值，不合题意；当时，，此时，无最大值，不合题意；当时，若，；若，在上单调递增，在上单调递减，则；若存在最大值，则，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．【答案】（1）7；（2）7【解析】【分析】（1）根据指数幂运算即可；（2）利用平方关系求解即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】，等号两边同时平方，得，所以.18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合，由并集定义可得结果；（2）根据补集定义和并集结果得，结合可知，由此可解得结果.【小问1详解】当时，；由得：，解得：，则；.【小问2详解】由（1）知：，；，；由得：，若，则，解得：，即实数的取值范围为.19.已知定义域为的奇函数，且时，.（1）求当时，函数的解析式；（2）求证：在上为增函数.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)结合已知条件，首先求出当时，的解析式，然后结合奇函数性质求的解析式，最后利用奇函数定义求出即可；(2)结合已知条件，利用单调性定义证明即可.【小问1详解】由题意，当时，，①当时，则，故，又因为为奇函数，从而，故；②因为为奇函数，所以，即，综上所述，当时，.【小问2详解】不妨设、，且，，又因为，，，即，所以，即，从而在上为增函数.20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）（2）4千克时，利润最大480元.【解析】【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.【小问1详解】由已知；【小问2详解】由（1）得，即由二次函数的单调性可知，当时，，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取得最大值，综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.21.设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．（1）求t和a的值；（2）若，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接利用奇函数性质可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a.(2)利用奇函数的性质可得，再由函数单调性脱去“”，转化为二次不等式恒成立求解即可.【小问1详解】因为函数（，且）是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，解得，所以，因为函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数是奇函数，故满足题意，又因为的图象过点，所以，，且，解得或（舍去），综上t和a的值分别为2，2.【小问2详解】由（1）可知函数是奇函数，所以不等式等价于，因为指数函数在上单调递增，所以由复合函数单调性可知在上单调递增，所以不等式等价于，即，不等式恒成立，当且仅当，解得，所以实数k的取值范围为.22.设函数，．（1）对于任意都有成立，求的取值范围；（2）当时对任意，恒有，求实数的取值范围；（3）若存在，使得与同时成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）转化条件为对于任意恒成立，设，由一次函数的性质即可得解；（2）转化条件为在区间上，，结合二次函数、一次函数的性质求得函数最值后即可得解；（3）按照、、讨论，由一