《概率与概率分布》课件

概率与概率分布本课程将带你了解概率论的基础知识，并介绍常见的概率分布。什么是概率？事件发生的可能性概率是对事件发生的可能性进行度量，用一个介于0到1之间的数值表示。随机现象的描述概率是描述随机现象发生的规律，并用于预测未来事件发生的可能性。统计学的基础概率是统计学的基础，用于解释和分析数据，帮助人们了解事物发生的规律。集合论与概率的关系1样本空间所有可能结果的集合2事件样本空间的子集3概率事件发生的可能性概率的基本公理公理1：非负性对于任何事件A，其概率大于等于0。公理2：样本空间的概率样本空间S的概率为1。公理3：可加性对于相互排斥的事件A和B，A或B发生的概率等于A发生的概率加上B发生的概率。条件概率定义条件概率是指在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。公式P(A|B)=P(AB)/P(B)应用条件概率广泛应用于医疗诊断、金融风险评估等领域。独立事件定义两个事件A和B相互独立，当且仅当事件A的发生不影响事件B发生的概率。公式P(A∩B)=P(A)P(B)举例抛硬币两次，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。全概率公式公式P(A)=∑P(A|Bi)P(Bi)解释事件A的概率等于事件A在所有可能的互斥事件Bi条件下的概率之和，乘以事件Bi的概率。应用计算事件A的概率，当A可能由多个互斥事件Bi导致时。贝叶斯公式P(A|B)后验概率事件B发生后，事件A发生的概率P(B|A)似然概率事件A发生后，事件B发生的概率P(A)先验概率事件A发生的概率P(B)边缘概率事件B发生的概率离散随机变量及其概率分布随机变量随机变量是一个数值变量，其值取决于随机事件的结果。离散随机变量离散随机变量的值只能取有限个值或可数无限个值。概率分布概率分布描述了随机变量取各个值的概率。泊松分布泊松分布描述了在给定时间或空间内事件发生的概率。它常用于分析稀有事件的发生频率。例如，在某个时间段内，电话呼叫中心接到的电话数量或网站访问者数量。二项分布二项分布是统计学中一种常见的离散概率分布，它描述了在n次独立试验中，事件A发生的次数X的概率分布。在每次试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p。二项分布的概率质量函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n次试验中选出k次事件A发生的组合数。超几何分布超几何分布描述了从有限总体中随机抽取样本，其中每个样本都是独立的，并且抽取的样本不放回。例如，从一个装有10个红球和5个蓝球的箱子里，随机抽取3个球，其中恰好有2个红球的概率。超几何分布可以用来计算从有限总体中抽取样本的概率，并且它在质量控制、抽样调查等方面有着广泛的应用。连续随机变量及其概率分布连续随机变量取值在一定范围内连续变化的随机变量。概率分布描述连续随机变量取值的概率规律。概率密度函数用于描述连续随机变量取值的概率密度。均匀分布均匀分布是一种简单的概率分布，它描述了事件在某个区间内等概率发生的可能性。例如，在一个连续的随机变量中，如果所有值在某个区间内等可能地出现，则该变量服从均匀分布。正态分布形状正态分布的概率密度函数呈钟形，左右对称，曲线下方的面积表示事件发生的概率。公式正态分布的概率密度函数由均值和标准差决定，可以使用公式计算特定区间内的概率。应用正态分布广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域，例如身高、体重、血压等。正态分布的性质和应用对称性正态分布曲线关于其均值对称，意味着数据在均值两侧的分布概率相同。峰度正态分布曲线呈钟形，在均值处达到峰值，反映数据的集中程度。应用广泛正态分布广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域，例如统计分析、质量控制和预测模型。正态近似1中心极限定理大量独立随机变量的和近似于正态分布2二项分布当样本量足够大时，二项分布可近似为正态分布3泊松分布当事件发生概率较小时，泊松分布可近似为正态分布正态近似是一种重要的工具，它允许我们使用正态分布来近似其他分布，从而简化计算并提供有用的结论。正态分布标准化标准化将任何正态分布转化为标准正态分布的过程。公式Z=(X-μ)/σ，其中Z是标准正态随机变量，X是原始正态随机变量，μ是均值，σ是标准差。优势简化计算和比较不同正态分布。正态分布表及其应用正态分布表列出了标准正态分布中不同数值的概率。使用正态分布表可以帮助我们快速找到特定范围内的概率值。随机变量的数字特征期望随机变量的期望值是所有可能值的加权平均值，权重为每个值的概率。方差随机变量的方差是其各个值与其期望值之差的平方的加权平均值，权重为每个值的概率。标准差随机变量的标准差是其方差的平方根，表示随机变量值的分散程度。期望E(X)期望值随机变量取值的平均值。Var(X)方差随机变量取值与期望值的偏离程度。SD(X)标准差方差的平方根，衡量数据分布的离散程度。方差定义方差是用来衡量随机变量与其期望值之间的平均偏差程度的统计量。它反映了数据分布的离散程度，方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。公式对于离散随机变量X，其方差为：Var(X)=E[(X-E[X])²]其中，E[X]是X的期望值。标准差定义方差的平方根，衡量数据分布的离散程度。公式σ=√Var(X)单位与随机变量相同的单位。矩矩描述一阶矩期望，反映随机变量的中心位置二阶中心矩方差，描述随机变量的离散程度三阶中心矩偏度，衡量概率分布的偏斜程度四阶中心矩峰度，反映概率分布的尖锐程度偏度和峰度1偏度衡量分布偏离对称性的程度。2峰度衡量分布峰值的陡峭程度。随机变量的函数分布函数变换将一个随机变量的函数作为新的随机变量。分布类型了解函数变换后的随机变量的分布类型。计算方法利用积分或求和方法计算新随机变量的概率分布。随机变量和随机向量1随机变量随机变量是将随机事件的结果用数值表示的变量.2随机向量随机向量是指多个随机变量组成的向量.3概率分布随机变量和随机向量的概率分布描述了它们取值的概率.相关系数-1负相关0不相关1正相关相关系数衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。从-1到1的范围，-1表