2024-2025学年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.2第1课时等差数列的前n项和课时作业含解析北师大版必修5

PAGEPAGE4课时作业5等差数列的前n项和时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则S10等于(B)A．100B．210C．380D．400解析：∵d＝eq\f(a4－a2,4－2)＝eq\f(15－7,2)＝4，又a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10×3＋45×4＝210.2．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为(C)A．0B．4475C．8950D．10000解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，又{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝eq\f(100c1＋c100,2)＝eq\f(100×40＋139,2)＝8950.3．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(B)A．S4<S5B．S4＝S5C．S6<S5D．S6＝S5解析：因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－6,a1＋7d＝6))，所以a1＝－8，d＝2.所以an＝2n－10，所以a5＝0，所以S4＝S5.求a5是解答本题的关键．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(A)A．6B．7C．8D．9解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－11，,a4＋a6＝－6，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－11,d＝2)).∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－11n＋n2－n＝n2－12n＝(n－6)2－36.即n＝6时，Sn最小．5．在等差数列{an}中，已知S2＝2，S4＝4，则S6等于(C)A．0B．4C．6D．12解析：∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2,4－2，S6－4成等差数列，∴2＋S6－4＝2×2，∴S6＝6.6．已知Sn表示数列{an}的前n项和，若对随意的n∈N*，an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则S2018＝(C)A．1008×2015B．1008×2016C．1009×2017D．1009×2016解析：在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，则a2＝a1＋a2，得a1＝0；令n＝2，则a3＝2＝2a2，得a2＝1，于是an＋1－an＝1，故数列{an}是首项为0，公差为1的等差数列，S2018＝eq\f(2018×0＋2017,2)＝1009×2017，故选C.7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且(n＋1)Sn＝(7n＋23)Tn，则使得eq\f(an,bn)为整数的正整数n的个数是(C)A．2B．3C．4D．5解析：由题意，可得eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋23,n＋1)，则eq\f(an,bn)＝eq\f(2an,2bn)＝eq\f(\f(2n－1a1＋a2n－1,2),\f(2n－1b1＋b2n－1,2))＝eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(14n＋16,2n)＝eq\f(7n＋8,n)＝7＋eq\f(8,n)，验证知，当n＝1,2,4,8时，eq\f(an,bn)为整数，即使得eq\f(an,bn)为整数的正整数n的个数是4，故选C.8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为(B)A．9B．10C．19D．20解析：设从上面起先，第n层的钢管数为an，则{an}为等差数列，且公差d＝1，a1＝1，Sn＝eq\f(nn＋1,2).要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多，又S19＝190<200，S20＝210>200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少，即剩余钢管根数为200－190＝10.二、填空题9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝30.解析：设数列{an}的公差为d，S3＝6，S4＝12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d＝6，,4a1＋\f(4×3,2)d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))∴S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝30.10．已知数列{an}的通项为an＝3n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝89.解析：|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a7＋a8＋a9＋a10)＝(7＋4＋1)＋(2＋5＋8＋11＋14＋17＋20)＝89.11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为4或5.解析：∵a4＝1，S5＝eq\f(5,2)(a2＋a4)＝10，∴a2＝3，设公差为d，首项为a1，则a4＝a2＋2d＝3＋2d＝1，∴d＝－1，∴a2＝a1＋d＝a1－1＝3，即a1＝4.∴an＝a1＋(n－1)d＝4－(n－1)＝5－n.令an＝0，得n＝5，即当n>5时，an<0，∴当n＝4或5时，Sn取最大值．三、解答题12．在等差数列{an}中，(1)已知a1005＝eq\f(1,41)，求S2009；(2)已知d＝2，S100＝10000，求an；(3)已知a4＋a6＝6，S5＝10，求公差d.解：(1)∵a1＋a2009＝2a1005，∴S2009＝eq\f(2009a1＋a2009,2)＝2009a1005＝2009×eq\f(1,41)＝49.(2)由S100＝100a1＋eq\f(100×100－1,2)×2＝10000，解得a1＝1.故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(3)由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋5d＝6，,5a1＋\f(5×4×d,2)＝10，))解之，得d＝eq\f(1,2).13．等差数列{an}的前n项和为Sn＝－5n2＋20n，求数列{|an|}的前n项和Sn.解：设首项为a1，公差为d，则a1＝S1＝15，S2＝－5×4＋40＝20.∴a2＝S2－a1＝5，∴d＝a2－a1＝－10.∴an＝－10n＋25.由an≥0，即－10n＋25≥0，得n≤2.5，又∵n∈N＋，∴a1，a2为正，a3，a4，…为负，∴当n≤2时，|an|＝an，Sn＝－5n2＋20n；当n>2时，|an|＝－an，∴Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2－a3－a4－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2)＝－Sn＋2S2＝5n2－20n＋40.∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5n2＋20nn≤2,5n2－20n＋40n>2)).——实力提升类——14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(Sn,n)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋2，\f(Sn＋2,n＋2)))(n∈N*)的直线的斜率为(C)A．4B．3C．2D．1解析：因为数列{an}为等差数列，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的图像是一条直线上的离散的点，因此经过P，Q两点的直线必经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(S2,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(S5,5)))，故直线PQ的斜率k＝eq\f(\f(S5,5)－\f(S2,2),5－2)＝eq\f(11－5,3)＝2，故选C.15．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝6，S3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)<1.解：(1)方法一：设等差数列{an}的公差是d.依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝6，,3a1＋\f(3×2,2)d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2.))所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n.方法二：由题意，得S3＝3a2＝12，故a2＝4，得公差d＝eq\f(6－4,3－2)＝2，首项a1＝a2－d＝4－2＝2，故an＝2＋2(n－1)＝2n.(2)证明：由(1)，知an＝2n，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n(n＋1)．所以eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋