2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案含解析新人教A版必修4

PAGE2．5平面对量应用举例[目标]1.通过向量学问在实际问题中的应用，提高分析问题、解决问题的实力．2.学会如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型解决实际问题．[重点]向量学问在实际问题中的应用．[难点]把实际问题转化成数学问题．学问点一平面几何中的向量方法[填一填]用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．[答一答]1．用向量可以解决平面几何中的哪些问题？提示：(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、向量共线定理．(2)证明线段垂直，可以用向量的数量积运算．(3)利用向量的数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．学问点二向量在物理中的应用[填一填]1．物理学中的很多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的学问主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算．3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．[答一答]2．利用向量解决物理中的问题的实质是什么？提示：向量在物理中的应用，事实上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最终用所获得的结果说明物理现象．3．利用向量解决物理问题时应留意什么？提示：在用向量解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路．在解题过程中要留意两方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型说明和回答相关的物理现象.类型一平面对量在几何中的应用[例1]如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq\f(1,2)DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．[解](1)设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.∴|eq\o(AD,\s\up15(→))|2＝eq\a\vs4\al(\o(AD,\s\up15(→)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))2＝eq\f(4,9)a2＋2×eq\f(2,9)a·b＋eq\f(1,9)b2＝eq\f(4,9)×9＋2×eq\f(2,9)×3×3×cos120°＋eq\f(1,9)×9＝3.∴AD＝eq\r(3).(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq\o(AD,\s\up15(→))与eq\o(AC,\s\up15(→))的夹角．∴cosθ＝eq\f(\o(AD,\s\up15(→))·\o(AC,\s\up15(→)),|\o(AD,\s\up15(→))||\o(AC,\s\up15(→))|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq\f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq\f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),3\r(3))＝0.∴θ＝90°，∴∠DAC＝90°.先利用图形特点和已知条件选择基向量表示目标向量，再利用公式求解是解决与平面图形有关的向量夹角及长度问题的常见方法.[变式训练1]如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求证：点E，O，F在同始终线上．证明：设eq\o(AB,\s\up15(→))＝m，eq\o(AD,\s\up15(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴eq\o(FO,\s\up15(→))＝eq\o(FA,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→)).又O为eq\o(FO,\s\up15(→))与eq\o(OE,\s\up15(→))的公共点，故点E，O，F在同始终线上．类型二平面对量在物理中的应用[例2]帆船竞赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，假如一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20km/h，若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．[解]建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20km/h，该帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2，由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10eq\r(3))，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,10eq\r(3))＋(20,0)＝(30,10eq\r(3))，所以|v|＝eq\r(302＋10\r(3)2)＝20eq\r(3)(km/h)．因为tanα＝eq\f(10\r(3),30)＝eq\f(\r(3),3)(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20eq\1求两个向量的和向量，须要画出平行四边形，解平行四边形或三角形求出夹角或边的长度.2合速度问题，合力问题，都属于和向量问题，要画图利用图形解决问题.[变式训练2]用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为10_N.解析：如图，由题意得|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|，∠AOB＝120°，|eq\o(OG,\s\up15(→))|＝10N，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则四边形OACB为菱形且∠CAO＝60°，eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，|eq\o(OC,\s\up15(→))|＝|eq\o(OG,\s\up15(→))|＝10N，所以|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|＝10N.[例3]已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10m/s2)[解]如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．将力F分解，它的铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)．因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分别为500eq\r(3)J和－22J.物理中力F所做功W问题常运用向量的数量积解决．[变式训练3]已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．解：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up15(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．所以合力F对质点所做的功为－102J.1．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝0，eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝0，则四边形为(D)A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：∵eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(CD,\s\up15(→))，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(CD,\s\up15(→))|，且eq\o(AC,\s\up15(→))⊥eq\o(BD,\s\up15(→))，故四边形为菱形．2．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为(B)A．2 B．3C．4 D．8解析：|ν|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，又|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(7－42＋12－62)＝eq\r(45)，∴时间t＝eq\f(\r(45),\r(5))＝3.3．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝16.解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq\r(2)，∠ABC＝45°，∴eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝4eq\r(2)×4×cos45°＝16.4．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功为1.解析：W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.5．一辆汽车在平直马路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风往东偏南30°方向吹，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．解：依据物理学问，有三对相对速度，汽车对地的速度为ν车地，风对车的速度为ν风车、风对地的速度为ν风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即ν风地＝ν风车＋ν车地．如图，依据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量ν风地的有向线段eq\o(AD,\s\up15(→))是平行四边形ABDC的对角线．因为|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝4，∠ACD＝30°，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝2，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，|eq\o(DC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|cos30°＝2eq\r(3)，即风的实际方向是由正北向正南方向，汽车速度的大小为2eq\r(3)米/秒．——本课须驾驭的两大问题1．用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：(1)几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面