2024-2025学年新教材高中数学课时分层作业6全称量词与存在量词含解析北师大版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(六)全称量词与存在量词(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中是存在量词命题的是()A．平行四边形的对边相等B．同位角相等C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数[答案]D2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为()A．对随意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对随意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立A[本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“随意实数x，y”，改成全称命题为：对随意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．]3.已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则p的否定为()A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000A[存在量词命题的否定是全称量词命题，“＞”的否定是“≤”，故选A.]4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“∀x∈A，2x∈B”的否定是()A．∀x∈A，2xB B．∀xA，2xBC．∃xA，2x∈B D．∃x∈A，2xB[答案]D5．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，x3≤0 B．∃x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up8(3)<0C．∀x∈R，x2≥0 D．∀x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up8(2)>0D[当x＝－1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up8(2)＝0，故选D.]二、填空题6．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．[答案]∀x∈R，x2＋1≠07．“对随意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．[答案]存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤08．对于命题：①随意x∈N，都有x2>0；②随意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)②[只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．]三、解答题9．推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并推断真假．(1)全部的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．(2)存在实数x，使eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4).[解](1)该命题是全称量词命题．当a＝0，b＝0时方程有多数解，故该命题为假命题．(2)该命题是存在量词命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4).故该命题是假命题．10．已知命题“对随意x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a＞0”的否定为假命题，求实数a的取值范围．[解]由“对随意x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a＞0”的否定为假命题，可知命题“对随意x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋eq\f(15,2)a＞0对随意实数x恒成立．设y＝x2－5x＋eq\f(15,2)a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×eq\f(15,2)a＜0，解得a＞eq\f(5,6)，即实数a的取值范围为a＞eq\f(5,6).11．下列全称量词命题中真命题的个数是()①末位是零的整数，可被5整除②角平分线上随意一点到这个角的两边的距离相等③∀x∈Z，2x2＋1是奇数A．0B．1C．2D．3[答案]D12．命题“全部能被2整除的数都是偶数”的否定是()A．全部不能被2整除的数都是偶数B．全部能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数D[把全称量词改为存在量词，并把结果否定．]13．命题：“对随意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是()A．对随意k≤0，方程x2＋x－k＝0有实根B．对随意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根C．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根D．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0有实根C[“对随意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是“存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根”，故选C.]14．若“∃x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．m≤eq\f(9,4)[由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得，m≤eq\f(9,4)，所以，实数m的取值范围是m≤eq\f(9,4).]15．已知“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，求实数a的取值