2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步单元质量评估含解析新人教B版必修第二册

PAGEPAGE1第六章平面对量初步一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列命题中正确的是(C)A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．随意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行解析：由于零向量与任一向量都共线，所以当b为零向量时，a与c不肯定共线，所以A不正确；由于数学中探讨的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同始终线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，这与已知a与b不共线冲突，所以假设不成立，即a与b都是非零向量，C正确．故选C.2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于(D)A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析：依据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．3．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(A)A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)解析：因为向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，a∥b，所以2×(－2)＝1×x⇒x＝－4，所以a＝(2,1)，b＝(－4，－2)，a＋b＝(－2，－1)，故选A.4．已知M，P，Q三点不共线，且点O满意8eq\o(OM,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，则下列结论正确的是(D)A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝－3eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))－4eq\o(MQ,\s\up6(→))D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(MP,\s\up6(→))＋4eq\o(MQ,\s\up6(→))解析：由8eq\o(OM,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up6(→))＋3(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋eq\o(4OM,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→)))＝0，则eq\o(OM,\s\up6(→))＋3eq\o(PM,\s\up6(→))＋4eq\o(QM,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(MP,\s\up6(→))＋4eq\o(MQ,\s\up6(→)).故选D.5．在平行四边形ABCD中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，则下列运算正确的是(B)A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝0解析：a－b＋c－d＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.6．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(C)A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．菱形解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为梯形．7．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，下列结论中正确的是(D)A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在直线上 D．P在△ABC的外部解析：由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))可得eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四边形PBCA为平行四边形．可知点P在△ABC的外部．故选D.8．设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则(A)A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A.9．已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，若A，B，C三点共线，则(D)A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴存在m∈R，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))∴λμ＝1，故选D.10．设M是△ABC所在平面上一点，且eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，D是AC的中点，则eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BM,\s\up6(→))|)))的值为(A)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．1D．2解析：因为D为AC的中点，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)×2eq\o(MD,\s\up6(→))＝－3eq\o(MD,\s\up6(→))，故eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(MB,\s\up6(→))|)))＝eq\f(1,3)，故选A.11．△ABC中，D在AC上，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，P是BD上的点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，则m的值为(A)A.eq\f(5,9)B.eq\f(7,9)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)解析：eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)·eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\f(λ,2)＝eq\f(2,9)，λ＝eq\f(4,9)，则m＝1－λ＝eq\f(5,9)，故选A.12．若向量a＝(x,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，c＝a＋2b，d＝2a－b，且c∥d，则c－2d等于(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，5))C．(1,2) D．(－1，－2)解析：由已知得c＝(x＋1,4)，d＝(2x－eq\f(1,2)，3)，∵c∥d，∴3(x＋1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))，∴x＝1，∴c＝(2,4)，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，∴c－2d＝(－1，－2)．二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__－1__.解析：解析：∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)，∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.14．已知正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则a＋b＋c的模等于2eq\r(2).解析：|a＋b＋c|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).15．已知e1，e2不共线，且(3x－4y)e1＋(2x＋3y)e2＝2e1＋7e2，则x－y等于__1__.解析：∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝2，,2x＋3y＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))∴x－y＝1.16．如图所示，已知△OAB，由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区(不含边界)．(1)若D为AB中点，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)；(2)已知下列四个向量：①eq\o(OM1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))；②eq\o(OM2,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；③eq\o(OM3,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(OM4,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→)).对于点M1，M2，M3，M4，落在阴影区域内(不含边界)的点有__M1，M2__(把全部符合条件点都填上)．解析：(1)若D为AB中点，则由向量的加法法则可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(2)设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，则存在实数t∈(0,1]，使得eq\o(ON,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))，且存在实数r＞1，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝req\o(ON,\s\up6(→))，从而eq\o(OM,\s\up6(→))＝rteq\o(OA,\s\up6(→))＋r(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))，且rt＋r(1－t)＝r＞1.又由于0＜t≤1，故r(1－t)≥0.对于①中rt＝1，r(1－t)＝2，解得r＝3，t＝eq\f(1,3)，满意r＞1也满意r(1－t)≥0，故①满意条件．对于②中rt＝eq\f(3,4)，r(1－t)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(13,12)，t＝eq\f(9,13)，满意r＞1也满意r(1－t)≥0.故②满意条件．对于③中rt＝eq\f(1,2)，r(1－t)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(5,6)，t＝eq\f(3,5)，不满意r＞1，故③不满意条件．对于④中rt＝eq\f(3,4)，r(1－t)＝eq\f(1,5)，解得r＝eq\f(19,20)，t＝eq\f(15,19)，不满意r＞1，故④不满意条件．三、解答题(共70分)17．(10分)如图，在梯形ABCD中AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).解：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)b－a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,3)b－a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)b＋(eq\f(1,3)b－a)＝eq\f(1,6)b－a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b－(eq\f(1,6)b－a)＝a－eq\f(2,3)b.18．(12分)已知点A(－1,2)，B(2,8)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，求eq\o(CD,\s\up6(→))的坐标．解：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,6)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2,2－y2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6)．因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)．从而eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－4)．19．(12分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求3a＋b－2c；(2)求满意a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－eq\f(16,13).20．(12分)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10km/h，(1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)假如小船在河南岸M处，对岸北偏东30°处有一个码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头(河水自西向东流)?解：(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20km/h，小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0km/h，此时小船是静止的．(2)如图所示，设eq\o(MA,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(MN,\s\up6(→))表示小船实际过河的速度，eq\o(MB,\s\up6(→))的方向表示小船的航向．设MC⊥MA，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∠CMN＝30°.∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，∴四边形MANB为菱形．在△MNB中，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∴∠BMN＝60°.又∵∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°.∴小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.21．(12分)如图所示，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点．求证：AR＝RT＝TC.证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AR,\s\up6(→))＝r，eq\o(AT,\s\up6(→))＝t，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.由于eq\o(AR,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以可设r＝n(a＋b)．因为eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(ER,\s\up6(→))与eq\o(EB,\s\up6(→))共线，所以可设eq\o(ER,\s\up6(→))＝meq\o(EB,\s\up6(→))＝m(a－eq\f(1,2)b)．因为eq\o(AR,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ER,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)b＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b)).所以n(a＋b)＝eq\f(1,2)b＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))，即(n－m)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(m－1,2)))b＝0，由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－m＝0，,n＋\f(m－1,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,n＝\f(1,3).))所以eq\o(AR,\s