2024秋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式达标练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE4-第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式[A级基础巩固]一、选择题1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参与两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中属于组合问题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：①与依次有关，是排列问题；②③均与依次无关，是组合问题．答案：C2．Ceq\o\al(6,9)＋Ceq\o\al(7,9)的值为()A．36 B．45 C．120 D．720解析：Ceq\o\al(6,9)＋Ceq\o\al(7,9)＝Ceq\o\al(7,10)＝Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120.答案：C3．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参与公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()A．60种 B．48种 C．30种 D．10种解析：从5人中选派2人参与星期六的公益活动有Ceq\o\al(2,5)种方法，再从剩下的3人中选派2人参与周日的公益活动有Ceq\o\al(2,3)种方法，故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)＝30(种)．答案：C4．(Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(97,100))÷Aeq\o\al(3,101)的值为()A．6 B.eq\f(1,6) C．101 D.eq\f(1,101)解析：(Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(97,100))÷Aeq\o\al(3,101)＝(Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(3,100))÷Aeq\o\al(3,101)＝Ceq\o\al(3,101)÷Aeq\o\al(3,101)＝eq\f(Aeq\o\al(3,101),Aeq\o\al(3,3))÷Aeq\o\al(3,101)＝eq\f(1,Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).答案：B5．Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝()A．Ceq\o\al(2,15) B．Ceq\o\al(3,16) C．Ceq\o\al(3,17) D．Ceq\o\al(4,17)解析：原式＝Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝…＝Ceq\o\al(3,16)＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,17).答案：C二、填空题6．化简：Ceq\o\al(9,m)－Ceq\o\al(9,m＋1)＋Ceq\o\al(8,m)＝________．解析：Ceq\o\al(9,m)－Ceq\o\al(9,m＋1)＋Ceq\o\al(8,m)＝(Ceq\o\al(9,m)＋Ceq\o\al(8,m))－Ceq\o\al(9,m＋1)＝Ceq\o\al(9,m＋1)－Ceq\o\al(9,m＋1)＝0.答案：07．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则全部线段在圆内的交点最多有________个．解析：此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以交点最多有Ceq\o\al(4,9)＝126(个)．答案：1268．某单位需同时参与甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参与，乙、丙会议各需1人参与，从10人中选派4人参与这三个会议，不同的支配方法有________种．解析：从10人中选派4人有Ceq\o\al(4,10)种方法，对选出的4人详细支配会议有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝2520(种)．答案：2520三、解答题9．解方程3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al(2,x－4).解：由排列数和组合数公式，原方程化为eq\f(3（x－3）！,（x－7）！4！)＝5·eq\f(（x－4）！,（x－6）！)，则eq\f(3（x－3）,4！)＝eq\f(5,x－6)，即为(x－3)(x－6)＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的解，所以方程的解为x＝11.10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．(1)以其中随意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中随意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中随意3个点为顶点的三角形有多少个？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(条)，即以10个点中的随意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120(个)．B级实力提升1．某探讨性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动须要选择3名同学参与，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120 B．84 C．52 D．48解析：用间接法可求得选法共有Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52(种)．答案：C2．(2024·江苏卷)某爱好小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参与活动，则恰好选中2名女生的概率为________．解析：从5人中选取2人有Ceq\o\al(2,5)＝10种方法，恰好选中2名女生有Ceq\o\al(2,3)＝3种方法，所以所求事务的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)3．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出竞赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)法一(干脆法)“至少1名女运动员”包括以下几种状况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(1,6)＝246种选法．法二(间接法)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有Ceq\o\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq\o\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246种选法．(2)当有女队长时，其他人选法随意，共有Ceq\o\al(4,9)种选法．不选女