第4天+圆周运动+天体的运动+讲义-2024届高考物理考前15天满分计划

第4天园周运动天体的运动

0知识必备

一、圆周运动

1.解决圆周运动问题的基本思路

分析物体受力情况，画出受力示意图，确定向心力荚源

一|利用平行四边形定则、正交分解法等表示出径既历

-I根据牛顿第三定律及向心力公式列方程

2.圆周运动的三种临界情况

(1)接触面滑动临界：摩擦力达到最大值.

(2)接触面分离临界：FN=O.

⑶绳恰好绷紧：FT=():绳恰好断裂：R达到绳子最大承受拉力.

3.常见的圆周运动及临界条件

(1)水平面内的圆周运动

水平面内动力学方程临界情况示例

水平转盘上的物体

F(=ni(D2r恰好滑动

圆锥摆模型/w^tan9—mrar恰好离开接触面

\、//

(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动

轻绳才莫型

-、、、、2恰好通过最高点，绳的拉

/、、

r%最高点尸，〃〃

/\T+g=zy

I

I力恰好为0

i、

、、、

轻杆模型

7恰好通过最高点，杆对小

且方上_XT

展断点mg±F=ni—

球的力等于小球重力

带电小球在叠加场

关注六个位置的动力学

中的圆周运动

方程，最高点、最低点、

恰好通过等效最高点；恰

等效最高点、等效最低

好做完整圆周运动

点，最左边和最右边位

置

等效法

倾斜转盘上的物体最高点机gsin6±F(=

marr

恰好通过最低点

最低点Ft—mgsxn0=

/

，

tmarr

二、天体的运动

1.卫星的发射、运行及变轨

忽略自转：C^^=mg，故GM=gR%黄金代换式)

在地面

附近静考虑自转

止两极：G^=mg

赤道：=mgomarR

卫星的第一宇宙速度：u=y^=d^=7.9km/s

发射

CGM1

mCln-一户~►On0c,

V2IGM1

(天体)〃一片、/---一产〒

辟=”L,5

卫星在

f

、GM1

0c

圆轨道m”『—co一、l/一8qi

上运行屏7=寸需一8炉

越高越慢，只有丁与一变化一致

(1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、

动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之

变轨(2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于

内轨道的速度

(3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长

2.天体质量和密度的订算

求中心

天体的c_M

代与rR3

质量和3

密度求密度

3.双星问题

两星在相互间力有引力的作用卜都绕它们连线上的某一点

模型概述

做匀速圆周运动

角速度(周期)相等

各自所需的向心力由彼此间的万有引力提

特点

向心力供

Gm\tm,Gimtm

p—m\co-r],p—nnco9n

定模型判断是轻绳模型还是轻杆模型

对轻绳模型来说，。临二府是能否通

过最高点的临界速度，而对轻杆模

型来说，过最高点的临界速度为零

通常情况下竖直平面内的圆周运动

只涉及最高点和最低点的运动情况

对物体在最高点或最低点时进行受

受力分析｝力分析，根据牛顿第二定律列出方

r~|程，"二「向

J应用动能定理或机械能守恒定律将

、过程分析卜初、末两个状态联系起来列方程

£方法必知

1.变轨原理

（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道I上，如图所示。

（2）在4点（近地点）点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道I

上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ho

（3）在g点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道III.

2.两类变轨

两类变轨离心运动近心运动

小意图

变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小

万有引力与向心力的大小关系GE竺，m1-G詈>加?

rzr

3.椭圆双切轨道

如图所示，椭圆轨道II与圆周轨道1、III相切于A、B点,卫星通过A、B点相继在三

个轨道上运行。

..m

⑴速度有0>1，2>四“4⑴是在椭圆II上经A点时的速度，V2是圆周I上的速度）

分析：在椭圆II上的切点A处有0>V2。

圆周I和圆周III比较有V2>V3o

在椭圆II上的切点B处有V3>V4o

（2）沿椭圆II由4至B，加速度逐渐变小。

（3）能量特点

轨道引力做功情况EkEp4

圆周I不做功大小小

圆周ni不做功小大大

椭圆nAtB负减小增大中

BT4正增大减小

（4）瞬时变轨特点

在4点，由圆周I变至椭圆H时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械

能增加。

在B点,由椭圆n变至圆周in时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械

能增加。反之也有相应的规律。

6令6。

真题回顾

1.（2023•全国）如图，水平地面上放有一质量为"的"L形支架。一质量为加的小球用

长为/的轻绳连接在支架顶端，小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为g。

已知小球运动到最低点时速度大小为v,此时地面受到的正压力大小为（）

i-

22

A.MgB.+C.+一D.（M+in）^-m—

2.（2023•福建）一种离心测速器的简化工作原理如51所示。细杆的一端固定在竖直转

轴OO,上的。点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于。点，另

一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的

位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L=02〃，杆与竖直转轴的夹角a始

终为60。，弹簧原长及=0.1皿，弹簧劲度系数4=1（X）N；〃?，圆环质量阳=1依；弹簧始终在

弹性限度内，重力加速度大小取摩擦力可忽略不计。

（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到。点的距离；

（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；

（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。

3.（2023•浙江）太阳系各行星几乎在同一平面内沿司一方向绕太阳做圆周运动。当地

球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲

日”。己知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表：

行星名称地球火星木星土星天王星海王星

轨道半径1.01.55.29.51930

R/AU

则相邻两次“冲日”时间间隔约为（）

A.火星365天B.火星800天C.天王星365天D.天王星800天

4.（2023•广东）如图（a；所示，太阳系外的一颗行星。绕恒星Q做匀速圆周运动。由

于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P

的公转周期相同。己知。的质量为引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的

%G2（一%时间

图（b）

A.周期为NT。

B.半径为JGM（"亚

C.角速度的大小为」

-，0

D,加速度的大小为?匡画

U

5.（2023•山东）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体

间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足尸a丝。已知地月之间的距离一

r~

大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g,根据牛顿的猜想，月球绕地球

公转的周期为（）

1.（2024•锦州一模）和谐号动车经过一段弯道时，显示屏上显示的速率是288珈/万。某

乘客利用智能手机自带的指南针正在进行定位，他发现“指南针”的指针在10$内匀速

转过了10。，则在此10s时间内动车（）

A.转过的角度为工/adB.角速度为1-ad/s

18

C.运动路程为2880〃？D.向心加速度为0

2.（2024•二模拟）武汉“东湖之眼”摩天轮，面朝东湖、背靠磨山，是武汉东湖风景

区地标之一。摩天轮在竖直放置的圆轨道内围绕其圆心O点做半径为尺的匀速圆周运动,

角速度为勿，在匀速转动的过程中轿厢地板总保持水平状态.如图所示,放置在地板卜

的物体，其与地板之间的动摩擦因数为〃，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度

为g，为了保证物体在匀速转动的过程中始终不相对于地板滑动，则角速度。的最大值

3.（2024•安徽模拟）如图所示，水平地面上的木板中央竖直固定一根轻杆，轻杆顶端

用轻绳连接一可看作质点的小球，初始时把连接小球的绳子拉至水平。小球由静止释放,

在向下摆动的过程中木板恰好没有滑动。设物体间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已

知小球与木板的质量分别为机和3〃?。则木板与地面间的动摩擦因数为（）

O

A.-B.—C.—D.—

4245

4.（2024•琼山区校级模拟）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆

周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图（a）所示，

曲线上的4点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆.在极限

情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径夕叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与

水平面成a角的方向以速度％抛出，如图（b）所示，则在其轨迹最高点尸处的曲率半

径是（）X

\^cos2a

C.D.

g&ina

5.（2024•吉林一模）如图所示的圆盘，半径为R,可绕过圆心O的水平轴转动，在圆

盘的边缘沿同一直径方向固定两根长为R的轻杆，杆的端点各有一可视为质点的小球4、

8,在圆盘上缠绕足够长的轻绳。轻绳的另一端拴接一小球C。现将装置由静止释放，

小球。向下以;g（g为重力加速度）的加速度做匀加速直线运动，圆盘与轻绳间不打滑，

经过一段时间圆盘转过两圈。下列说法正确的是（)

A.I员I盘转两圈所用的时间为2小等

B.圆盘转两圈时，小球4的角速度大小为2楞

C.圆盘转两圈时，圆盘的角速度大小为楞

D.圆盘转两圈时，小球8的线速度大小为2、阳

6.（2024•岳麓区校级模拟）“双星”是宇宙中普遍存在的一种天体系统，这种系统之所

以稳定的原因之一是系统的总动量守恒且总动量为0,如图所示4、8两颗恒星构成双

星系统，绕共同的圆心O互相环绕做匀速圆周运动，距离不变角速度相等，已知“的动

量大小为〃，A4的总质量为M,轨道半径之比为1:5,则4与A的动能之差为（

B.”乙D,酬

M5M5M

7.（2024•长沙模拟）2023年11月23日《中国日报》消息，11月23日18时00分04

秒，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭及远征三号上面级成功将互联网

技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。如果互联网

技术试验卫星的轨道半径为，周期为r,地球的半径为R,引力常量为G,则（）

A.地球的质量为止B.地球的质量为担£

GT-GT2

C.地球的密度为*D.地球的密度为上％

GT-GT-P

8.（2024•雨花区校级模拟）据统计，我国发射的卫星已近600颗，位居世界第二位，

这些卫星以导航、遥感、通信为主要类别，尤其是北斗导航卫星的发射使我国具备了全

球精确导航定位、授时和短报文通信等能力。如图，A、3、C为我国发射的3颗卫星，

其轨道皆为圆形，其中卫星A、4的轨道在赤道平面内，卫星C的轨道为极地轨道，轨

道半径々.<G<G，下列说法正确的是（

A.卫星8一定与地球自转同步

B.卫星A的动能比卫星8的动能大

C.卫星C的线速度大小可能为8.0切〃s

D.卫星4的加速度比卫星2的加速度大

9.（2024•河南模拟）如图甲所示，A、4两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速

圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗卫星的间距△/•随时间/的变化图像，/=0时刻

4、8两颗卫星相距最近。已知卫星A的周期〃=2小则4、8两颗卫星运行轨道半径

8

之比为（）

A

0q2%3%

乙

A.1:2B.1:4C.1:7D.1:8

10.（2024•长沙一模）华为"皿M0实现了手机卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，

就可以实现通话。如图所示三颗赤道上空的通信卫星就能实现环赤道全球通信，已知三

颗卫星离地高度均为人地球的半径为R,地球同步卫星离地高度为6R,地球表面重力

加速度为g，引力常量为G,下列说法正确的是（）

A.三颗通信卫星受到地球的万有引力的大小相等

B.能实现全球通信时，卫星离地高度至少27?

C.其中一颗质量为机的通信卫星的动能为」近

2（R+〃）

D.通信卫星和地球自转周期之比为J芈1

考前押题

1.据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统二两种可能的四星系统构成

如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆

周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三

星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都

相等，AB二CD,则第一、二种四星系统周期的比值为（）

AT：..................f

；'、'、//：，Z：.'、

'一:/:\

：•/'、、I'，.、

/'、、:/，个、、'、

.1，Z、、Q.'♦.J.

.......X/二・一・一门...二\

D

甲乙

A2m+3口3/V3+3厂3Ia+4n21^3+3

A.34诟B.2｛诉c・D.

2.2023年10月9日，先进天基太阳天文台，即“夸父一号”科学卫星迎来一周岁生日。

“夸父一号”已平稳在轨运行365天。己知“夸父一号”位于日地连线、距地球约150

万公里的日地系统的拉格朗日点，和地球一起以相同角速度绕太阳做匀速圆周运动，如

图所示。关于“夸父一号”和地球一起运行过程中，下列说法正确的是（）

B.“夸父一号”绕太阳运行的周期小于一年

C.“夸父一号”绕太阳运行的加速度小于地球绕太阳运行的加速度

D.“夸父一号”和地球一起绕太阳做圆周运动的向心力均由太阳的引力提供

3.当做圆周运动的物体角速度3变化时，我们可以引用角加速度夕来描述角速度。的

变化快慢，即6=上。图甲中某转盘自f=0时由静止开始转动，其前4s内角加速度/随

时间/变化如图乙所示。则（）

A.第4s末，转盘停止转动

B.角加速度的变化率的单位为比以/s

C.0~2s内转盘做匀角加速圆周运动

D.第2s末，转盘的角速度大小为10nW/s

4.如图所示，细线的下端系着一个小钢球，用手拿着细线的上端，使小钢球在水平面

内做匀速圆周运动。当小球的角速度为华时，小球在较低的圆周1上做匀速圆周运动,

此时细线对小球的拉力为7；,小球的向心力为匕，小球的线速度为匕；当小球的角速度

为g时，小球在较高的圆周2上做匀速圆周运动，此时细线对小球的拉力为小球的

向心力为尸2，小球的线速度为岭。则（）

C.Ft<F2D.v,=v2

5.2023年9月28日中国首条时速350公里跨海高铁——福厦高铁正式开通运营，福州

至厦门两地间形成“一小时生活圈:如图甲，一满载旅客的复兴号列车以大小为-的速

度通过斜面内的一段圆弧形铁轨时，车轮对铁轨恰好都没有侧向挤压。图乙为该段铁轨

内、外轨道的截面图。下列说法正确的是（）

A.列车受到重力、轨道的支持力和向心力

B.若列车以大于箕的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压外轨

C.若列车空载时仍以y的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压内轨

D.若列车以不同的速度通过该圆弧轨道，列车对轨道的压力大小不变

真题回顾

1.【答案】C

【解答】解：小球运动到最低点时，对小球进行受力分析，小球受竖直向下的重力和轻

绳竖直向上的拉力，根据牛顿第二定律，T—m”〃占,对M受力分析，受竖直向下的

I

重力、小球对绳子竖直向下的拉力和自身的重力，根据平衡条件

F=Mg+T=（M+〃?）g+〃弓，根据牛顿第三定律，地面受到的正压力与地面对M的支持

力户大小相等，故C正确，错误。

故选：C。

2.【答案】答：（1）细杆和圆环处于静止状态，圆环到O点的距离为0.05〃?；

（2）弹簧处干原长时.细杆匀速转动的角速度大小侦团/7/s：

3

（3）圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小为10%//$。

【解答】解：（1）细杆和圆环处于静止状态，圆环受力如图1所示：

根据平衡条件结合数学知识〃=〃*cosa

根据胡克定律尸=收

代入数据联立解得x=0.05m

圆环至ljO点的距图s=%-/=0.-0.05/〃=（）.05/〃;

(2)弹簧处于原长时，圆环所受重力和支持力的合力提供向心力，如图2所示:

小球做圆周运动的半径R=sina=0.1xm=in

小球做圆周运动的向心力F♦/驾=孚'=也叵N

tanaJ33

根据向心力公式P=mRco；

代入数据联立解得的=呼,皿/5

(3)圆环处于细杆末端?时，圆环受力如图3所示:

图3

小球做圆周运动的半径R=Lsina=0.2xm=m

210

弹簧的弹力/=&(L-%)=100(0.2-0.l)N=10N

建立如图所示的坐标系，y轴方向FNsina=mg+F,^cosa

x轴方向%=FNcosa+F袋sira

根据向心力公式4句=mR'co；

联立解得co2=1Orad/s0

3.【答案】B

【解答】解：由开普勒第三定律，其轨道半径「的三次方与周期7的平方的比值都相等,

设地球外另一行星的周期为「，则有：

则两次冲日时间间隔为则」-'=1

TT

可得：,二与

1--

T

对火星和地球，代入数据得：r801天

对天王星和地球，代入数据得：，=369天

故A正确，AC?）错误。

故选：B。

4.【答案】B

【解答】解：AC、根据图（b）可知，Q的亮度变化的周期为：T=「t。

则角速度的大小为：

Tl\-zo

故AC错误;

B、行星尸受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：爷…爷

解得…产联

故8正确；

。、行星产的加速度的大小为：。=与「=上」/空工

「&-0）V4武

故/）错误；

故选：B。

5.【答案】C

【解答】解：设地球半径为R,在地球表面，忽略地球自转，万有引力等于重力:

G下-=mg

月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力等于向心力：G号=叫胎

由题意得：/'=6（）7?

联立解得：T=12041

故Aa）错误，C正确。

故选：C。

区域模拟

1.【答案】A

【解答】解：AB.相同时间内“指南针”的指针转过了角度与动车圆周运动转过的角

度相等，则此10s时间内动车转过的角度为。=上匚2K〃=2叔，角速度为

360018

71

co=—=—rad/s=-^―rad/s,故A正确，8错误；

t10180

C、此10s时间内动车运动路程为s=i”当xlO〃2=8OO〃?，故C错误；

3.6

。、动车以一定的线速度做圆周运动，其向心加速度不为零，故。错误。

故选：Ao

2.【答案】A

【解答】解：物块做匀速圆周运动的过程中，对其受力分析如图1所示:

pH

▼mg

图1

当角速度最大时，静摩擦力达到最大，设地板对物块的作用力为尸，”与竖直方向的夹

角为。，且tan0=〃：物块在匀速圆周运动过程中，向心力的大小总保持不变，画出矢

量三角形如图2所示：

图2

图中虚线圆周的半径大小为向心力的大小，尸和〃?g的矢量和等于向心力，当/与〃罟的

夹角为0时，此时向心力达到最大；

最大的向心力Fn=mgsin<9=mg/二

5+1

根据向心力公式"=mco-R

最大的角速度。=\—^=

\R^2+\

综上分析，故A正确；BCD错误。

故选：A。

3.【答案】C

【解答】解：设轻绳与水平方向的夹角为。时，小球的速度大小为“小球在摆动过程

只有重力，机械能守恒，根据机械能守恒定律有

mgLsinO=^inv2

设轻绳中的张力大小为人根据牛顿第二定律有

T-nigsin0=m—

解得

T=3mgsin0

要使木板不滑动，则轻绳中的拉力在水平方向的分力不大于对应木板受到的最大静摩擦

力，则有

7,cos%〃(3〃7g+7'sin0)

得

Tcos,0sin2。

LI>------------------=---------------

3mg+Tsin。3—cos26

显然上式右边为第一象限内单位圆上的点与定点（3,。）连线斜率的相反数，如图所示

函数存在最大值，由于恰好没有滑动，摩擦系数

及

故C正确，A8D错误。

故选：C。

4.【答案】C

【解答】解：物体在其轨迹最高点Q处只有水平速度，其水平速度大小为%cosa,

在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，

由向心力的公式得i=4衿,

所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是：夕=也竺过，故C正确。

g

故选：C。

5.【答案】B

【解答】解：A.由题意可知，圆盘转两圈的时间与小球C■下落的时间相同，设为一

圆盘边缘转两圈和小球C下降的高度相等，则有：x=2x2兀R=4;rR

根据位移一时间公式有：

x=—1ar,=1—1x—2pt

222

解得圆盘转两圈所用的时间为

故A错误;

BC.根据速度一时间关系式可知此时小球。的速度为

v=-gt=2yJ/rgR

则圆盘和小球A的角速度大小为

故4正确，C错误；

。.小球8的线速度大小为

v'=2R(D=川兀gR

故。错误：

故选：Bo

6.【答案】B

【解答】解：设A、3的质量分别为何八M小轨道半径分别为小、心，相互间的万有

引力充当向心力，则有

根据题意公：7=1：5,M,、+MB=M，解得

肛二生，a=也

A686

A、8组成的系统总动量守恒且总动量为0,则A、8的动量总是等大反向，即A、3的

动量大小均为〃，则A、8的动能分别为

E一上

解得4与A的动能之差为

故4正确，ACT)错误。

故选：Ro

7.【答案】A

【解答】解：AB,根据万有引力提供向心力可得：G驾小竺

rT-

代入数据解得：壮，故A正确，4错误；

GT2

CD、已知地球的体积为V=±乃R

3

根据夕二”

V

代入可得：地球密度为夕=去',故CZ）错误。

GTR

故选：Ao

8.【答案】D

【解答】解：A、地球同步卫星的其中一种情况是轨道与赤道成零度角，距离地面的高

度、线速度和角速度的大小等参数都是固定的，而8不一定是同步卫星，故A错误；

B、根据万有引力提供向心力有：G粤=〃?匕，可得卫星的动能为：纭—6二%

rr22r

三颗卫星的质量大小关系不知道，无法比较动能的大小，故8错误；

C、第一宇宙速度为7.9加/$,是卫星的最大轨道速度，卫星C的线速度大小一定小于

79kmis,故C错误；

D.三颗卫星的轨道半径缶<□<7,根据万有引力产生加速度：吗=皿,所以加速

r~

度…

则由半径关系可知加速度关系为：故。正确。

故选：Do

9.【答案】B

【解答】解：根据题图乙可知，在两次相距最近的0~八时间内，4、"两卫星转过的角

度关系为：

又根据题意知：

8

解得：七=7fo

根据开普勒第三定律有:

联立可得：^=1,故错误，8正确。

。4

故选：Bo

10.【答案】C

【解答】解：A.通信卫星受到的力有引力大小为尸=G竿，三颗通信卫星的质量未告

知，故三颗通信卫星受到地球的万有引力大小不一定相等，故A错误；

B.三颗通信卫星若要全面覆盖，则其如图所示

由几何关系可知，4403=120。，ZAOC=60°,其OA为地球半径A,所以由几何关系有

cos60°=—,OC=2R=R+h,代入数据得：〃=R,所以通信卫星高度至少为R,故4错

OC

误；

C.对卫星有G*'=机上，在地球表面有G吗=，〃g，其动能为纥=L加=，

故C正确；

D.对通信卫星有G*^=〃?”（R+〃），对同步卫星有G%="?g（7R）,可得

（R+h）'宏（7即簟

/鬻，故D错误.

故选：C。

考前押题

1.【答案】B

【解答】解：对于第一种四星系统，图甲中每颗星体受力情况如下图所示。

设A8=CO=a,由几何关系可知，图甲中正方形的对角线的长度为亚〃

由万有引力定律可得：…学,一品

每颗星体所受合力大小为：七1=2不345。+6

由合力提供向心力有：心尸摩

联立解得：户

对于第二种四星系统，图乙中三角形顶点上的星体受力情况如下图所示。

由几何关系可知，图乙中三角形的边长：5=」^=亚〃，三角形的顶点与中心的距

sin6003

离为：r^=-a

3

由万有引力定律可得：…叫…等

与石

每颗星所受合力大小为：22=2