第2讲 磁场对运动电荷的作用 教案-高考物理备考复习重点资料归纳

第2讲磁场对运动电荷的作用

［主干梳理对点激活］

知识点11洛伦兹力、洛伦兹力的方向।

洛伦兹力公式II

1.洛伦兹力的定义：国运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。

2.洛伦兹力的方向

(1)用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指画垂直，并且都与

手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心画垂直进入，并使四指指向画正电荷运

动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的画正电荷在磁场中所受洛伦兹力的

方向。

(2)方向特点：FIB,Flu,即F垂直干画8和v所决定的平面(注意5和。

可以有任意夹角)。

由于由始终回垂直于。的方向,故洛伦兹力永不做功。

3.洛伦兹力的大小：F=qvBsiM其中。为电荷运动方向与磁场方向之间的

夹角。

(1)当电荷运动方向与磁场方向垂直时，F=qvBo

(2)当电荷运动方向与磁场方向平行时，F=05

(3)当电荷在磁场中静止时，F=0o

知识点2带电粒子在匀强磁场中的运动II

1.两种特殊运动

(1)若vllB,带电粒子以入射速度v做回］匀速直线运动。

(2)若。18,带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度。做画匀速圆

围运动。

2.基本公式

22

向心力公式：qvB-nry=m（第一。

3.导出公式

⑴轨道半径：厂=肪。

2"2兀〃?

（2）周期：T=

v~qB

注意：八/和口的大小与轨道半径〃和运行速率。无关，只与磁场的画磁

感应强度8和粒子的画比荷，有关。比荷北相同的带电粒子，在同样的匀强磁场

中八©相同。

1双基瓶

一堵点疏通

1.带电粒子在磁场中运动时，一定会受到磁场力的作用。（）

2.洛伦兹力的方向垂直于B和。决定的平面，洛伦兹力对带电粒子永远不

做功。（）

3.根据公式r=呼，可知带电粒子在匀强磁场中的运动周期7与。成反比。

（）

4.用左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向电荷的运动方向。（）

5.带电粒子在磁场中运动时的轨道半径与粒子的比荷成正比。（）

6.当带电粒子进入匀强磁场时，若。与B夹角为锐角，带电粒子的轨迹为

螺旋线。（）

答案1.X2.V3.X4.X5.X67

二对点激活

1.（人教版选择性必修第二册EoG改编）下列各图中，运动电荷的速度方向、

磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是（）

I)

答案B

解析由左手定则知A中力”的方向应竖直向上，B中力厂的方向应竖直向

下，C、D中速度。与饿感应强度。平行，不受洛伦兹力，故B正确，A、C、D

错误。

2.（人教版选择性必修第二册科"3改编）如图所示，一束质量、速度和电荷量

不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入

另一个匀强磁场中并分裂为A、B两束，下列说法正确的是（）

A.组成A束和B束的离子都带负电

B.组成A束和B束的离子质量一定不同

C.A束离子的比荷大于B束离子的比荷

D.速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外

答案C

解析由左手定则结合带电粒子在磁场中偏转的方向知，A、B束离子均带

正电，故A错误。A、B束离子的速度相同，而A束离子在磁场中的偏转半径较

nw

小，由，.二而知A束离子的比荷大于B束离子的匕荷，而它们的电荷量关系未知,

则无法判断离子质量关系，故B错误，C正确。速度选择器中A、B束离子所受

静电力向右，所以所受洛伦兹力应向左，结合左手定则可判断磁场方向应垂直于

纸面向里，故D错误。

「考点细研悟法培优

LJ

深化

考点1洛伦兹力的特点及应用理理解

1.洛伦兹力的特点

⑴洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的

平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做

功。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使

四指指向电荷运动的反方向。

2.洛伦兹力与静电力的比较

对应力内容项目洛伦兹力静电力

产生条件v^O且v不与B平行电荷处在静电场中

大小F=qvB(v]_B)F=qE

正电荷受力与电场强受方

一定是"LB,Flvf且与

力方向与场方向的关系向相同，负电荷受力与电

电荷电性有关

场强度方向相反

可能做正功、负功，也可

做功情况任何情况下都不做功

能不做功

力为零时场的情况F为零,B不一定为零F为零,七一定为零

既可以改变电荷运动速度

只改变电荷运动的速度方

作用效果的大小，也可以改变电荷

向，不改变速度大小

运动的方向

例1如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的

匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半

圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是()

A.滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大

B.滑块经过最低点时的加速度比磁场不存在时小

C.滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小

D.滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等

解题探究

吗？

提示：因为洛伦兹力不做功，所以有无磁场对滑块经过最低点时的速度大小

无影响。

(2)运动到最低点时滑块所受洛伦兹力方向如何？

提示：竖直向下。

尝试解答选D。

由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不

2

变，A错误；滑块经过最低点时的加速度a",则与磁场不存在时相比，滑块

经过最低点时的加速度不变，B错误；由左手定则可知，滑块经过最低点时受到

的洛伦兹力向下，而与滋场不存在时相比，滑块经过最低点时所受的向心力不变，

故对轨道的压力变大，C错误；由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，在任意

一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则滑块从M点到最低点所

用时间磁场不存在时相等，D正确。

0七

洛伦兹力与安培力的联系及区别

⑴安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。

(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。

［变式H(多选)如图所示，两个倾角分别为30。和60。的足够长光滑绝缘斜

面固定于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，

两个质量为〃八电荷量为十^7的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放,

运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面，在此过程中(

A.甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大

B.甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短

C.两滑块在斜面上运动的位移大小相同

D.两滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率相等

答案AD

解析小滑块飞离斜面时，洛伦兹力与重力垂直斜面的分力平衡，故mgcosO

=qvmB,解得Um二qB,所以斜面倾角越小，飞离斜面瞬间的速度越大，故甲

滑块飞离时速度较大，故A正确；滑块在斜面上运动的加速度恒定不变，由受力

分析和牛顿第二定律可得加速度。=gsinO,所以甲的加速度小于乙的加速度，因

为甲飞离时的速度大于乙飞离时的速度，由=S得，甲在斜面上运动的时间大

Vm

于乙在斜面上运动的时间，故B错误；由以上分析和工二五可知，甲在斜面上运

动的位移大于乙在斜面上运动的位移，故C错误；由平均功率的公式得，滑块在

斜面上运动的过程中，重力的平均功率「二/。-sinO=〃吆与in。二粗旦^篙姆，

因sin3()o=cos6()。，sin60°=cos30°,故两滑块在斜面上运动时重力的平均功率相

等，故D正确.

MS

技巧

1.带电粒子在匀强破场中运动的解题思路

(1)圆心的确定

①基本思路：与速度方向垂直的直线和轨迹圆中弦的中垂线一定过圆心。

②两种常见情形

情形一：已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于

入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图a所示，

图中。为入射点，何为出射点）。

情形二：已知入射方向和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的

垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的

圆心（如图b所示，图中P为入射点，M为出射点）。

（2）半径的确定和计算

利用几何知识求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何

特点：

①粒子速度的偏向角（P等于圆心角«,并等于AB弦与切线的夹角（弦切角3）

的2倍（如图所示），S\］（p=a=20=cotG

②相对的弦切角夕相等，与相邻的弦切角力互补，即。+。‘=180%

（3）运动时间的确定

①由偏转角度计算：粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧

轨迹所对应的圆心角为a时，其运动时间由下式表示:

a

~360°

②由运动弧长计算：

2.带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动规律

有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂

直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧

轨迹，然后离开磁场区域。带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁

场的速度大小、方向和磁场的磁感应强度及磁场的区域边界。常见磁场区域边界

可分为如下几种情形：

情形一：直线边界

直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、

乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒

子进出磁场存在临界条件。

解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。

如果粒干从同一直线边界射入和射出，那么粒干讲入磁场时速度与边界的夹

角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。

情形二：矩形边界

矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部

分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。

解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况:（设

粒子从ad边中点“垂亘射入）

(1)两个临界半径

①从d点射出：力二竽。

2

②从c点射出：*二1一芋)+加。

(2)三种情况

①厂《内，粒子从〃段射出。

②ri<rWr2,粒子从cd段射出。

③，>2粒子从C/段射出(不会到达/点)。

情形三：圆形边界

圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀

强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨

迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考

的热点。

带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：

(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入

的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁

场圆的圆心，如图1所示。

(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方

向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特

殊情况(。=0。)。

(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向

进入磁场，当带电粕子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带

电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。

(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中

做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆

周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方

向平行，如图4所示。

情形四：四分之一平面边界

四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁

场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临

界情况。

解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与

坐标轴的夹角关系，然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解

问题。

情形五：三角形边界

三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段

圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会

有不同的临界情景。

解答该类问题主要把握以下两点：

(1)射入磁场的方式

①从某顶点射入。

②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。

(2)射出点的判断

其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。

例2(2020•辽宁省锦州市一模)如图所示，在竖直线EO/右侧足够大的区域

内存在着磁感应强度大小为8、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量相同、电荷

量分别为+4和-q的带电粒子，从。点以相同的速度先后射入磁场，已知。的

方向与。尸成9=30。角，两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，则下列说法中

不正确的是()

A.两带电粒子回到E。/竖直线时与。点的距离相等

B.两带电粒子在磁场中的运动时间相等

C.两带电粒子回到EO/竖直线时的速度相同

D.从射入磁场到射出磁场的过程中，两粒子所受洛伦兹力的冲量相同

。1解题探究I(1)如何判断正、负粒子回到石。尸竖直线时的速度是否相同？

提示：画出两个粒子的运动轨迹，粒子以与直线边界多大角度射入，就以多

大角度射出。

(2)洛伦兹力属于变力，如何求它的冲量？

提示：依据动量定理求。

尝试解答选B。

两带电粒子以与。产成夕二30。角的速度。射入有界匀强磁场后，由左手定则

可判断，正粒子沿逆时针方向运动，负粒子沿顺时针方向运动，它们的轨迹如图

V2

所示，因正、负粒子所带电荷量的绝对值和质量都相同，由桃归二〃可知，它们

在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径相同，由几何关系知，负粒子在磁场中转过

的角度为2氏正粒子在磁场中转过的角度3=271-2/则两段圆弧所对应的弦长

度相等，即带电粒子回到£。/竖直线时与。点的距离相等，A正确；带电粒子

在磁场中做圆周运动的周期7=乎二篝，则正、负粒子的周期相同，但是轨迹

圆弧所对的圆心角不同，因此两带电粒子在磁场中的运动时间不相等，B错误;

因洛伦兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，两带电粒子回到£0/竖直

线时的速度相同，C正确；两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，由动量定理

得/洛=P-P。，由于两带电粒子以相同的初速度射入磁场，初动量外相等，离开

磁场时速度大小相等、方向相同，末动量〃相等，因此两带电粒子所受洛伦兹力

的冲量相同，D正确。本题选说法不正确的，故选B。

总｝结｝升｝华

I.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法

一"►画轨迹

■①找几何关系.求轨道半径

②轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系

小学)一③偏转角度与圆心角、运动时间相联系

④粒子在磁场中运动的时间与周期相联系

乙消二、一即运用牛顿第二定律和圆周运动的规律.或

竺/一直接应用丸道半径公式与周期公式

2.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题

(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直

线的交点。

(2)六条线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度所在直线和出射速度所在

直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条

线构成一个四边形，后面两条线为这个四边形的对角线。

(3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于

弦切角的两倍。

[变式2](2020.河北省衡水中学4月教学质量监测)(多选)如图所示，在半径

为R的圆形区域内充满磁感应强度为3的匀强磁场,MN是一竖直放置的感光板。

从圆形磁场最高点夕垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，旦粒子所带电荷

量为外质量为〃7,不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是（）

/维、

/XXXX'

XBXjXx

\XXXX/

Kxx.y

A.粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长

B.出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心。

C.出磁场的粒子一定能垂直打在MN上

D.只要速度满足。二呼，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上

答案BD

解析由广二丽，匕吃二：,知粒子在磁场中通过的弧长s二砂二石arctan肃,

运动的时间1=2二言•arctan鬻，则。越大，s不一定越大，但时间越短，故A

Ufit-1/

错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，

其出射方向的反向延长线也一定过圆心，故B正璃；速度不同，粒子的轨道半径

不同，则对着圆心入射的粒子，沿不同的半径方向射出磁场，即出射后不一定垂

直打在MN上，故C错误；速度满足。二等时，粒子的轨道半径为，・二,二R,

入射点、出射点、。点与轨迹的圆心构成正方形，粒子出射后一定垂直打在MN

板上，故D正确。

解题

考点3带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题1技巧

1.带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度

条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。

如图甲，带电粒子以速度。垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为％如

带负电，其轨迹为从

2.磁场方向不确定形成多解

有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此

时由于磁感应强度方向不确定形成多解。

如图乙，带正电粒子以速度。垂直进入匀强磁场，如8垂直纸面向里，其轨

迹为〃，如3垂直纸面向外，其轨迹为儿

3.速度不确定形成多解

有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时

必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解。常有两种情形：（1）入射速度方向一

定，大小不同；Q）入射速率一定，方向不同。

如图丙所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子速度大

小不确定，因此，它可能穿过下边界，也可能转过180。反向飞出，于是形成了多

解。

4.运动的周期性形成多解

带电粒子在电场和磁场的组合场空间运动时，若运动具有周期性，则存在多

解。如图丁所示。

例3（202（）■河北省石家庄市二模）如图所示,边长为L的等边三角形A3C内、

外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁

感应强度大小均为凡顶点A处有一粒子源，粒子源能沿NBAC的角平分线发射

不同速率的粒子，粒子质量均为〃?、电荷量均为+/不计粒子重力及粒子间的相

互作用力，则发射速度。。为哪一值时粒子能通过B点()

3

11(1)粒子要想通过8点，必须偏转一次过8点吗?

提示：不是，有多解。

(2)如何确定轨道半径？

提示：依据直线边界磁场的结论画出粒子可能的轨迹，得到〃=%〃=

1,2,3,…)。

尝试解答选D。

粒子带正电，且经过8点，其可能的轨迹如图所示。

所有圆弧所对圆心角均为60。，所以粒子运动半径，•=§(〃=123,…)，粒子

在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得。8=午，解得

加二誓二鬻5=123,…)，由此可知，A、B、C错误，D正确。

求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧

⑴分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。

⑵作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。

（3）若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性,

注意每种解出现的条件。

［变式3-1］（多选）长为/的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所

示。磁感应强度为伉板间距离为/,极板不带电。现有质量为用、电荷量为q的

带正电粒子（不计重力）：从左边极板间中点处垂直磁感线以速度。水平射入磁场，

欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）

A,使粒子的速度”驾

B.使粒子的速度需

C.使粒子的速度心等

D.使粒子的速度鬻（嘿

答案AB

解析如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有川=（门-52+匕又

因为门=蜀，解得初二器；若粒子刚好打在极板左边缘，有底=:二蜀，解

得02二黑。欲使粒子不打在极板上，应使。或。,当¥，故A、B正确，C、

D错误。

［变式3-2］如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间

距离为“，两板中央各有一个小孔。、O'且正对，在两板间有垂直于纸面方向的

匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正

方向）。有一群正离子在=0时垂直于M板从小孔0射入磁场，已知正离子质量

为加，电荷量为夕，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的

周期都为To,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求:

（1）磁感应强度H）的大小;

⑵若正离子从0'孔垂直于N板射出磁场所用的时间最短，请画出其运动轨

迹并求出该最短时间;

⑶要使正离子从0'孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度。o

的可能值。

答案。爆QI轨迹图见解析To

(3)〃二1,2,3,…)

解析（1）设离子的轨道半径为R,由洛伦兹力提供向心力有:

mva

Boqvo=w

做匀速圆周运动的周期丁。二誓

由以上两式得：刚二箫。

⑵轨迹如下图,

最短时间/min=7bo

⑶要使正离子从0'孔垂直于N板射出磁场，正离子在两板之间只运动一个

周期即仆时，R=M。

当正离子在两板之间运动〃个周期，即〃小时，R=-^(n=\,2,3,…)

，加

又B卯0二次

联立得正离子的速度的可能值为0。二誓二券(〃二1,2,3,…)。

启智微专题建模提能4巧用动态圆解磁场中的临界、极

值问题

1.模型构建

此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界

和圆形边界等。因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可

能存在最大、最小面积，最长、最短时间等问题。

2.模型条件

(1)在匀强磁场中做匀速圆周运动。

(2)磁场有一定范围。

3.模型分类

(一)动态放缩法

粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒

速度方向一定、大小不

子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做

同

匀速圆冏运动的轨道半往与粒子速度大小有关

适用

如图所示(图中只国出粒子带正电的情景)，速度

条件

。越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒

轨迹圆圆心共线

子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初

速度方向的直线PP'上

XXXXXX

P9

XXS.XX

X/xX

4(0^

XX\xX'-.JOX

XXXX*XX

界定

以入射点P为定点，圆心位于尸尸直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而

方法

探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

【典题例证1]

如图所示，正方形区域。从力内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，曲二/,

0。=0.4/,大量带正电的粒子从O点沿与ah边成37。的方向以不同的初速度uo

射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为加，电荷

量为夕,磁场的磁感应强度大小为&sin370=0.6,cos370=0.8o

⑴求带电粒子在磁场中运动的最长时间；

⑵若带电粒子从〃边离开磁场，求。o的取值范围。

[解析1（1）粒子从而边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示,

有qBv（）=又

2TIR

又丁二

V0

-2兀〃7

解何厂访

360°-0

又由几何关系得0=74。,则粒子在磁场中运动的最长时间t=36QOT=

143兀〃2

9()qB°

(2)当粒子轨迹与面边相切时，如图2所示，设此时初速度为。(H,轨道半径

为Ri,由几何关系可得

/?i+/?isin37°=0.4/

mvi\

又qBvoi=市一

qBl

解得Vo\=4〃z

当粒子运动轨迹与〃边相切时，如图3所示，设此时初速度为如2,轨道半

径为R2,由几何关系可得R2+R2cos37。=/

〃就2

又qBvs=在

解得g2=嗯^

综上可得符如W器。

小143兀〃？「、

［2答案4I⑴畸(2)q4B〃l/OOW就5qBl

。名师点睛带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的临界问题

带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的特点：

(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界垂直，如图甲所示。

①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做半个圆周运动后从原边界射出磁场

区域；

②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从侧面边

界飞出磁场；

③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从对面边界飞出磁

场。

(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界成一夹角，如图乙所示。

①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从原边界飞出磁场;

②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从上侧面

边界飞出磁场；

③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从右侧面边界飞出

磁场；

④当粒子速度更大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从下侧面边界飞出

磁场。

综合以上分析可知，求解带电粒子在矩形有界匀强磁场区域运动的时间范围、

速度范围等的问题时，寻找“相切或相交”的临界点是解决问题的关键；另外可

知在磁场边界上还有粒子不能达到的区域即“盲区”。

(二)定圆旋转法

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒

子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周

运动的半径相同，若射入初速度大小为内，则

圆周运动半径为r=鬻，如图所示

速度大小一定，方向不

同

适用XXXXX①X

条件

:③

,..........-i'Q/

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以

轨迹圆圆心共圆

入射点。为圆心、半径一二翳的圆上

界定

将半径为r=的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临

方法

界条件，这种方法称为“旋转圆”法

【典题例证2】

(202()•山西省吕梁市一模)(多选)如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向

的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S,能够在纸面内不

断地向各个方向同时发射速度为外电荷量为外质量为〃，的带正电粒子，不计

粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为4贝IJ()

A.粒了能打到荧屏"N上的区域K度为2，5d

B.能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为邛

C.粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为当

D.同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为需

［解析］打在荧屏"N上的粒子轨迹的临界状态如图1所示，根据几何关系

知，带电粒子能打到荧屏MN上的区域长度为：1==R+小R=(1+,)R=(1

+5)d,故A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧屏MN上最左侧的粒子偏转了

半个周期，故所用时间为：r=又T碧,解得：，二耳，故B正确；在磁场

中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子的运动轨迹如图2所示，粒子做完

整圆周运动的周期T二邛，由几何关系可知，最长时间：九=土T=啜，最短时间：

尬二卷7二瑞，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差：2

=/i-/2=^7,故C错误，D正确。

图1图2

［答案］BD

。名师点睛（1）解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题,关键在于运用

动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向，找出半径方向，

同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。粒子射出或不

射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。

（2）要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的

物理问题更形象、直观。

（三）平移圆法

粒子源发射速度大小、方向一定，入射

点不同但在同一直线上的带电粒子，它

们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的

速度大小一定：方向一定，但半径相同，若入射速度大小为。。，则运

适用入射点在同一直线上tnvo

动半径r=I万，如图所示

条件

XXXXXXX

带电粒N在磁场中做匀速圆周运动的圆

轨迹圆圆心共线

心在同一直线

界定将半径为一二簿的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫

方法

“平移圆”法

【典题例证3】

（2020•山西太原五中高三二模）（多选）如图所示，在直角三角形A8C内充满垂

直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），A3边长度为"，ZB=^O现垂直A8边射

入一束质量均为〃?、电荷量均为外速度大小均为。的带正电粒子。已知垂直AC

边射出的粒子在磁场中运动的时间为ro,而运动时间最长的粒子在磁场中的运动

4

时间为下。（不计重力），则下列说法中正确的是（）

A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为41。

Tim

B.该匀强磁场的磁感应强度大小为砺

2

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为

D.粒子进入磁场时速度大小为黑

［解析］根据题意：粒子垂直AB边射入，垂直AC边射出时经过四分之一个

周期，即%="解得了=4/o,A正确；洛伦兹力提供向心力，有碎二端解

得R端粒子运动的周期r=等"鬻=4"可解得该匀强磁场的磁感应强度

7TH1

大小为8二砺，B正确；当粒子轨迹与边相切时，粒子在磁场中运动的时间

最长，为小。二号丁，则在磁场中转过的圆心角为120。，如图所示，根据几何关系可

2

分门•兀R.4力/曰c2,_.gg_2nR_,2NR2兀5〃兀［

知??sin&+—~=d,解得R=5d,C正确；根据丁二-^一可知，。=亍=3^—=拓,

sin6

D错误。

［答案］ABC

3名师点睛寻找临界点常用的结论

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

（2）当速度。一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁

场中运动的时间越长。

（3）当速度。变化时，圆心角越大的，运动时间越长。

【针对训练】

1.如图所示，在直角坐标系戈。），中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大

小为B,磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为机、电荷量为+9的粒子以相同

的速率。从原点。沿纸面内由从x轴负方向到），轴正方向之间的各个方向射入磁

场区域。不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场

中可能经过的区域，其中尺二翳，则正确的图是（）

（）

B

答案D

解析如图，从。点沿x轴负方向射入的粒子，轨迹为圆，和x轴相切于。

点，在X轴上方，半径为R;沿），轴正方向射入的粒子，轨迹为半圆，在y轴右

侧，和x轴交点距。点为2R;沿其余方向射入的带电粒子，轨迹最远点均在以。

为圆心、半径为2R的圆周上；由以上分析结合定圆旋转法，可知D正确。

2.（2020.河北省石家庄市高三教学质量检测）如图所示，在直角三角形abc

区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为优/。=60。，

Z^=90°,边长=一个粒子源在。点将质量为机、电荷量为乡的带正电粒

子以大小和方向不同的速度射入磁场，不计重力，在磁场中运动时间最长的粒子

中，速度的最大值是（)

/•

工f(t.........................................

A姻

2m.6/H

「小qBL

,4机

答案A

解析粒子沿"边射入磁场且从4C边射出磁场时转过的圆心角最大，粒子

在磁场中的运动时间最长，粒子速度最大时运动轨迹与区相切，如图所示，由题

意和几何关系可知"二人，四边形"do是正方形，粒子轨道半径r=3,粒子

做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得gmB二竿\解得粒子的

2L

最大速度5n=喏，故A正确，B、C、D错误。

3.（2020•江苏省南通市、泰州市上学期期末）如图所示，宽度为L、足够长的

匀强磁场的磁感应强度大小为伉方向垂直纸面向里。绝缘长薄板MN置于磁场

的右边界，粒子打在板上时会被反弹（碰撞时间极度），反弹前后竖直分速度不变,

水平分速度大小不变、方向相反。磁场左边界上。处有一个粒子源，向磁场内沿

纸面各个方向发射质量为〃h电荷量为+外速度大小为。的粒子，不计粒子重力

和粒子间的相互作用，粒子电荷量保持不变。

⑴要使粒子在磁场中运动时打不到绝缘薄板:求粒子速度大小。满足的条件;

⑵若。二噜，一些粒子打到绝缘薄板上反弹回来，求这些粒子在磁场中运

动时间的最小值工

（3）若。=2偿，求粒子从左边界离开磁场区域的长度s。

答案（1）0＜端Q）舞（3）4小L

v2

解析（1）设粒子在磁场中运动的轨道半径为厂，则有=7町7

如图1所示，要使粒子在磁场中运动时打不到绝缘薄板，应满足2yL

联立解得V曙。

KX

图2

2jr/?2

(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期T=m

当。二噜时，解得「二乙

ff

打到绝缘板上反弹回来且在磁场中运动时间晟短的粒子通过的圆弧对应的弦

长最短，粒子运动轨迹如图2所示

T

由几何关系可知最小时间，=2乂%

A.—2nm

解得U砧。

⑶当。二郎时，解得〃二2L

粒子在磁场中运动从左边界离开磁场时，离。点最远的粒子运动轨迹如图3

所示

图3

则从左边界离开磁场区域的长度

s=4rsin60°

解得s=4小心

［高考模拟随堂集训］

1.（2020•全国卷I）—匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，

其边界如图中虚线所示，而为半圆，讹、6/与直径共线，此间的距离等于

半圆的半径。一束质量为〃八电荷量为仪4>0）的粒子，在纸面内从C点垂直于4C

射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时

间最长的粒子，其运动时间为（）

cad

*,•,•••

7m5M

A•磁B.痫

-4兀〃？-

C------D-----

1,3qB口2出

答案C

2A

解析粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB=，,T壁,可得粒子在磁

场中做匀速圆周运动的周期T=N设粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角

为优则粒子在磁场中的运动时间［二^］:患，即粒子在磁场中运动的轨迹对应

的圆心角越大，运动时间越长。当粒子分别从狼、从7间射出时，在磁场中的轨迹

为半圆，运动时间等于半个周期；当粒子从。下间射出时，在磁场中运动的时间

大于半个周期。画出粒子从。力间射出的任一轨迹，如图甲，。为轨迹圆心，e

为射出点，由图可知，轨迹所对的圆心角夕二兀+〃，由几何关系可知，«=2/?,则

9…26。当粒子的速率变化时，出射点e在。石上移动，分析可知，当。与£

的连线比与圆弧。〃相切时，"最大，如图乙。设。〃的半径为R,贝IJ讹二R,

4max〃Z

由图乙中的几何关系可知"的最大值为30。，则，max=兀+2夕max=7，/max二”

_4mz

C正确。

2.(2020•全国卷III)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和

3。的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为。

的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为〃?，电荷量为%忽略重力。

为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为

)

3niv

2-ae

一3/如

C'~4ae

答案C

解析电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有G归二〃7,

则磁感应强度与圆周运动轨迹半径的关系式为：B=—t即运动轨迹半径越大，

磁场的磁感应强度越小。电了从圆心沿半径方向进入磁场，当其恰好不离开图中

实线圆围成的区域时，运动轨迹与实线圆相切，此时电子运动轨迹半径有最大值

「max,如图所不，其中A点为电子做圆周运动的圆心。由几何关系可得：(3a-Tmax)2

4/np3nw

-温ax+a?,解得rmax=,则磁场的磁感应强度最小为Bmin=不意"=4二，故C

正确。

3.（2020.天津高考）侈选）如图所示，在Qry平面的第一象限内存在方向垂直

纸面向里，磁感应强度大小为。的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁

场，速度方向与），轴正方向的夹角。=45。。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未

画出）垂直穿过x轴。已知。历二处粒子电荷量为q,质量为"?，重力不计。则（）

A.粒子带负电荷

B.粒子速度大小为噜

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为。

D.N与。点相距（6+1）。

答案AD

解析由题意知，粒子运动的轨迹如图所示，根据左手定则可知，粒子带负

电荷，A正确；由于初速度方向与）'轴正方向的夹角0=45。，根据几何关系可知

ZOMOi=NOOiM=45。，OM=OO\=a,则粒子在磁场中运动的轨道半径为r=

r-V2

ChMfa,C错误；洛伦兹力提供向心力，有qTjBnnj,解得粒子速度大小为

。二"醇，B错误；N与。点的距离为N。=OOi+r=（啦+1）凡D正确。

4.(2020•全国卷II)如图，在-8勺<+8区域中存在方向垂直于

纸面的匀强磁场，磁感应强度8的大小可调，方向不变。一质量为机、电荷量为

式q>0)的粒子以速度。。从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。

(1)若粒子经磁场偏转后穿过)，轴正半轴离开破场，分析说明磁场的方向，并

求在这种情况下磁感应强度的最小值8”；

(2)如果磁感应强度大小为牛，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。

求粒子在该点的运动方向与R轴正方向的夹角及该点到R轴的距离。

答案(1)磁场方向垂直于纸面向里鬻

(2)1(2-3)力

解析(1)由题意可知，粒子刚进入磁场时受到沿y轴正方向的洛伦兹力，由

左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向里。设粒子在磁场中做圆周运动的半径为

R,根据洛伦兹力公式向圆周运动规律，有

qvoB=〃瞪①

由此可得

R二证②

粒子从磁场区域左侧沿工轴进入磁场，穿过y轴正半轴离开磁场，故其在磁

场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足

由题意可知，当磁感应强度大小为以时，粒子的运动半径最大，由此可得

mvo…

=④

(2)若磁感应强度大小为牛，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②

④式可得，此时粒子的运动半径为

R'