海南省重点名校2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

海南省重点名校2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则()A． B．C． D．2．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A． B． C．3 D．43．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．4．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）A．48 B．60 C．72 D．1205．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的充要条件；其中真命题的个数为()A．4 B．3 C．2 D．16．已知复数满足，且，则（）A．3 B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A． B．C． D．8．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．设集合，，则（）A． B．C． D．10．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则()A．， B．，C．， D．，11．已知命题，那么为（）A． B．C． D．12．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________14．已知全集，，则________.15．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.16．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．（12分）已知函数，.（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；（2）求证：（，且）.19．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.20．（12分）已知函数有两个极值点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.21．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表质量指标值频数2184814162（1）求图中实数的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.22．（10分）已知，且满足，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.2、A【解析】

根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得，解可得，由离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线的焦点为，则双曲线的焦点也为，即，则有，解可得，双曲线的离心率.故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．3、B【解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案.【详解】由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称故的最小值为故选：B【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.4、A【解析】

对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个数字出现在第位时，同理也有个数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个故满足条件的不同的五位数的个数是个故选【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。5、C【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断,

②根据相关指数的值的性质进行判断,

③根据方差关系进行判断,

④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;

②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;

③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;

④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点必满足线性回归方程；因此“满足线性回归方程”是“，”必要不充分条件.故④错误;

所以正确的命题有①③.

故选：C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.6、C【解析】

设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.7、B【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图，执行循环前：，，，执行第一次循环时：，，所以：不成立．继续进行循环，…，当，时，成立，，由于不成立，执行下一次循环，，，成立，，成立，输出的的值为.故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8、D【解析】

取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解.【详解】如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN，则，，即为二面角的平面角，过点B作于O，则平面ACD，由，可得，，，即点O为的中心，三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，，,解得，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.9、A【解析】

解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.10、C【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.11、B【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题，，那么是.故选：．【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12、B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】

根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，，，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.【详解】由题意，函数，且，，可得，，又由，可得为常数列，且，数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以，其中数列满足，所以，所以，又由，可得数列的前n项和为，数列的前n项和为，所以数列的前项和为，满足，所以，即，又由表示不超过实数的最大整数，所以.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14、【解析】

利用集合的补集运算即可求解.【详解】由全集，，所以.故答案为：【点睛】本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.15、5【解析】

△PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.【详解】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.过作准线的垂线，垂足为，则有，当且仅当三点共线时，等号成立，所以△PMF的周长最小值为55.故答案为：5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.16、【解析】

计算得到||，||cosα﹣1，解得cosα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（）•（）＝0可得（）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角．再由2•1+4+2×1×2cos7可得||，∴||cosα﹣1，解得cosα．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0，解得||，故答案为．【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：（1），，是首项为，公比为的等比数列．所以，．（2）.【点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.18、（1）1；（2）见解析【解析】

（1）分别求得与的导函数，由导函数与单调性关系即可求得的值；（2）由（1）可知当时，，当时，，因而，构造，由对数运算及不等式放缩可证明，从而不等式可证明.【详解】（1）∵函数在上单调递减，∴，即在上恒成立，∴，又∵函数在上单调递增，∴，即在上恒成立，，∴综上可知，.（2）证明：由（1）知，当时，函数在上为减函数，在上为增函数，而，∴当时，，当时，.∴∴即，∴.【点睛】本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.19、(1).(2).【解析】

（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵为锐角三角形，∴，即，则，所以，综上的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）先求得导函数，根据两个极值点可知有两个不等实根，构造函数，求得；讨论和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围；（2）根据极值点定义可知，，代入不等式化简变形后可知只需证明；构造函数，并求得，进而判断的单调区间，由题意可知，并设，构造函数，并求得，即可判断在内的单调性和最值，进而可得，即可由函数性质得，进而由单调性证明，即证明，从而证明原不等式成立.【详解】（1）函数则，因为存在两个极值点，，所以有两个不等实根.设，所以.①当时，，所以在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.②当时，令得，0减极小值增所以，即.又因为，，所以在区间和上各有一个零点，符合题意，综上，实数的取值范围为.（2）证明：由题意知，，所以，