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文档简介

安徽省淮北市2025届高三第六次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为()A.4 B. C.2 D.2.已知,若方程有唯一解,则实数的取值范围是()A. B.C. D.3.过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点作准线的垂线,垂足为.若,则()A. B. C. D.4.已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为()A. B. C. D.5.已知,,,,则()A. B. C. D.6.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A. B. C. D.7.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分不必要条件8.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.19.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是()A. B. C. D.10.要得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度11.已知复数(为虚数单位),则下列说法正确的是()A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第三象限C.的共轭复数 D.12.刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到的近似值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________.14.已知实数,满足约束条件,则的最小值为______.15.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.16.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,底面ABCD是边长为2的菱形,,平面ABCD,,,BE与平面ABCD所成的角为.(1)求证:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.18.(12分)已知,函数.(Ⅰ)若在区间上单调递增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(参考数据:)19.(12分)设,,,.(1)若的最小值为4,求的值;(2)若,证明:或.20.(12分)在平面直角坐标系中,,,且满足(1)求点的轨迹的方程;(2)过,作直线交轨迹于,两点,若的面积是面积的2倍,求直线的方程.21.(12分)在中,内角的对边分别是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面积.22.(10分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求.【详解】解:,,,,,,.,,故选:.【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2、B【解析】

求出的表达式,画出函数图象,结合图象以及二次方程实根的分布,求出的范围即可.【详解】解:令,则,则,故,如图示:由,得,函数恒过,,由,,可得,,,若方程有唯一解,则或,即或;当即图象相切时,根据,,解得舍去),则的范围是,故选:.【点睛】本题考查函数的零点问题,考查函数方程的转化思想和数形结合思想,属于中档题.3、C【解析】

需结合抛物线第一定义和图形,得为等腰三角形,设准线与轴的交点为,过点作,再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出,,结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图,设准线与轴的交点为,过点作.由抛物线定义知,所以,,,,所以.故选:C【点睛】本题考查抛物线的几何性质,三角函数的性质,数形结合思想,转化与化归思想,属于中档题4、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简,然后利用图象变换规律得出函数的解析式为,可得函数的值域为,结合条件,可得出、均为函数的最大值,于是得出为函数最小正周期的整数倍,由此可得出正确选项.【详解】函数,将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象;再把所得图象向上平移个单位,得函数的图象,易知函数的值域为.若,则且,均为函数的最大值,由,解得;其中、是三角函数最高点的横坐标,的值为函数的最小正周期的整数倍,且.故选C.【点睛】本题考查三角函数图象变换,同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题,解题的关键在于确定、均为函数的最大值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.5、D【解析】

令,求,利用导数判断函数为单调递增,从而可得,设,利用导数证出为单调递减函数,从而证出,即可得到答案.【详解】时,令,求导,,故单调递增:∴,当,设,,又,,即,故.故选:D【点睛】本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.6、D【解析】

把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,2本不同的数学书编号为,从中任意取出2本,所有的可能为:共10个,恰好都是数学书的只有一种,∴所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.7、A【解析】

试题分析:α⊥β,b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.考点:充分条件、必要条件.8、C【解析】

利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.9、C【解析】

计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,,由频率分布直方图可知,,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.10、D【解析】

先将化为,根据函数图像的平移原则,即可得出结果.【详解】因为,所以只需将的图象向右平移个单位.【点睛】本题主要考查三角函数的平移,熟记函数平移原则即可,属于基础题型.11、D【解析】

利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为,,,所以的周期为4,故,故的虚部为2,A错误;在复平面内对应的点为,在第二象限,B错误;的共轭复数为,C错误;,D正确.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识,是一道基础题.12、A【解析】

设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为,根据抛物线的定义求得,并求出对应的,即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为,抛物线的准线方程为,由抛物线的定义得,解得,此时.因此,抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】

作出满足约束条件的可行域,将目标函数视为可行解与点的斜率,观察图形斜率最小在点B处,联立,解得点B坐标,即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,该目标函数视为可行解与点的斜率,故由题可知,联立得,联立得所以,故所以的最小值为故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.15、【解析】在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR,则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==;故答案为:.16、【解析】

取的中点为M,由可得,可得M在上,当最小时,弦的长才最大.【详解】设为的中点,,即,即,,.设,则,得.所以,.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)要证明平面平面BDE,只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可;(2)以O为坐标原点,OA,OB,OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系,分别求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【详解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,设AC,BD交于O,取BE的中点G,连FG,OG,,,四边形OCFG是平行四边形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O为坐标原点,OA,OB,OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系∵BE与平面ABCD所成的角为,,,,,,.,设平面BEF的法向量为,,,设平面的法向量设二面角的大小为..【点睛】本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算,考查学生的计算能力,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.18、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】

(Ⅰ)先求导,得,已知导函数单调递增,又在区间上单调递增,故,令,求得,讨论得,而,故,进而得解;(Ⅱ)可通过必要性探路,当时,由知,又由于,则,当,,结合零点存在定理可判断必存在使得,得,,化简得,再由二次函数性质即可求证;【详解】(Ⅰ)的定义域为.易知单调递增,由题意有.令,则.令得.所以当时,单调递增;当时,单调递减.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,则.下面证明符合条件.若.所以.易知单调递增,而,,因此必存在使得,即.且当时,单调递减;当时,,单调递增;则.综上,的最大值为3.【点睛】本题考查导数的计算,利用导数研究函数的增减性和最值,属于中档题19、(1)2;(2)见解析【解析】

(1)将化简为,再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出的值;(2)根据,即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范围.【详解】解:(1)由题可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用基本不等式和放缩法求最值,考查化简计算能力.20、(1).(2)的方程为.【解析】

(1)令,则,由此能求出点C的轨迹方程.(2)令,令直线,联立,得,由此利用根的判别式,韦达定理,三角形面积公式,结合已知条件能求出直线的方程。【详解】解:(1)因为,即直线的斜率分别为且,设点,则,整理得.(2)令,易知直线不与轴重合,令直线,与联立得,所以有,由,故,即,从而,解得,即。所以直线的方程为。【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法,考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题。21、(1);(2).【解析】

(1)由,利用余弦定理可得,结合可得结果;(2)由正弦定理,,利用三角形内角和定理可得,由三角形面积公式可得

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