广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题

广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y=x B．y=2x2 C．y=12．与点(3，A．(−3，−2) B．(−3，2) C．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．五边形的外角和等于180°C．购买一张彩票，中奖D．随意翻开数学课本的某页，这页的页码是偶数4．如图，在⊙O中，AB=BC，∠AOB=40°，则A．10° B．20° C．30° D．40°5．若方程x2A．−2 B．2 C．15 D．6．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（）A．14 B．13 C．127．如图，⊙O的半径为13，弦AB=24，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）

A．10 B．6 C．5 D．128．将抛物线y=x2通过一次平移可得到抛物线A．向右平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（）A．23 B．6 C．33 10．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地.设原正方形空地的边长为A．(x−3)(x−2)=20 B．(x+3)(x+2)=20C．x2−3x−2x=20 11．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间A．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=C．水温从20℃加热到100℃，需要7minD．水温不低于30℃的时间为7712．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是（）A．25 B．30 C．40 D．50二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）13．随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点是3的概率是．14．如果一元二次方程x2−3x−1=0的两根为x1，x215．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B16．已知圆锥的高h＝23cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是．17．下列是关于抛物线y=x2+2x−3的性质：①图象开口向上；②对称轴是直线x=−2；③当x<−1时，y随x的增大而减小；④当x<−1或x>3时，y>018．如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数y=1x，y=kx的图象上，若∠C=90°，AC∥y轴，BC∥x轴，三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．解方程：x220．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．（1）找出它们的对称中心O；（2）若AB=6，AC=5，21．一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为．（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）22．直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(m，3)，与（1）求双曲线表达式；（2）请在平面直角坐标系中直接画出直线y=12x+223．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？24．如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC=3，点D在⊙O上且满足AC=AD，连接DC并延长到E点，使BE=BD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=6时，求⊙O半径的长．25．已知抛物线y=ax2−2ax+4(a>0)．（1）抛物线的对称轴为直线x=；抛物线与y轴的交点坐标为；（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，求它的解析式并画出函数图象；（3）在（2）的条件下，若A(m−1，y1)，B(m，y226．综合与探究．（1）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC上一点（0<BD<12BC），连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．

连接DE，试判断（2）【深入探究】希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，连接AF，使得∠DAF=45°，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；（3）智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF，DF，DB三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、y=x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；

B、y=2x2，y是x的二次函数，故此选项不符合题意；

C、y=1x，y是x的反比例函数，故此选项符合题意；

D、y=故答案为：C.【分析】形如y=kx或y=kx2．【答案】A【解析】【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（-3，-2）.故答案为：A.【分析】根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此可得答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：A、“明天太阳从东方升起”是必然事件，故此选项符合题意；

B、∵五边形的外角和等于540°，故五边形的外角和等于180°，是不可能事件，故此选项不符合题意；

C、∵购买一张彩票，可能中奖，也可能不会中奖，∴购买一张彩票中奖，是随机事件，故此选项不符合题意；

D、∵随意翻开数学课本的某页，这页的页码可能是奇数，也可能是偶数，∴随意翻开数学课本的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故此选项不符合题意.故答案为：A.【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB=BC∴∠BDC=1故答案为：B．

【分析】连接OC，根据弧，弦，圆心角之间的关系得出∠BOC=∠AOB=40°，根据圆周角定理得出∠BDC=125．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，该一元二次方程无实根，则△=（-1）2-4k<0，则k>14，选项中只有B选项2故答案为：B.

【分析】由该方程无实根得出根的判别式小于0，求出k的取值范围，然后在四个选项中找出符合题意的选项即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵圆被等分成4份，其中灰色区域占2份，

∴指针落在灰色区域的概率为24=12.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，AB=24∴AC=AB÷2=24÷2=12

又∵OA=13

∴OC=AO2

【分析】首先由OC⊥AB，根据垂径定理以及AB的长求出AC=AB÷2=12，然后再根据该圆的半径为13，根据勾股定理求出OC的长即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x−3）2的顶点坐标为（3，0），∵点（0，0）向右平移3个单位可得到（3，0），∴将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到抛物线y=(x−3)故答案为：A．【分析】根据平移的性质，再结合抛物线的解析式求解即可。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°

∵AB=6，D是BC的中点

∴∠BAD=∠CAD=30°，AD⊥BC，BD=CD=3

∴AD=AB2-BD2=62-32=33

∵△ACE是将△ABD绕点A逆时针旋转后得到的

∴∠BAD=∠CAE=30°，AD=AE

∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=60°

∴10．【答案】A【解析】【解答】解：设原正方形空地的边长为xm，则空地矩形的长为(x-2)m，宽为(x-3)m，

由题意得(x-3)(x-2)=20.故答案为：A.【分析】设原正方形空地的边长为xm，则空地矩形的长为(x-2)m，宽为(x-3)m，进而根据矩形的面积计算公式结合空地矩形的面积为20m2，列出方程.11．【答案】D【解析】【解答】解：设水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，

将点(0，20)与(8，100)分别代入得8k+b=100b=20，

解得k=10b=20，

∴水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20；

设水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为y1=k1x，

将点(8，100)代入得k1=800，

∴水温下降阶段y关于x之间的函数关系式y1=800x，故B选项不符合题意；

令y1=800x中的y1=20，得x=40，

∴饮水机每经过40min，要重新开始加热一次，从上午8点接通电源到9：30分，经过的时间为90min，90-40×2=10min，

将y=100代入y=10x+20，得10x+20=100，解得x=8，即水温加热到100℃，需要时间为8min，故C选项错误；

∴9：30时，饮水机第三次从开始加热加热了10min，

将x=10代入y1=800故答案为：D.【分析】首先利用待定系数法求出水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20；水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为y1=800x，据此可判断B选向；然后令y1=80012．【答案】D【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，AC与BD相交于点M，∵点H、G分别分别是AD、CD的中点，

∴HG∥AC，HG=12AC，

同理，HE∥BD，HE=12BD，

∵四边形EFGH是矩形，

∴HG⊥EH，

∴AC⊥BD，

∵矩形EFGH的周长为20，

∴AC+BD=2(HG+HE)=20，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AC×BM+12AC×DM=12AC(BM+DM)=12AC×BD=12AC×(20-AC)=-12【分析】由三角形中位线定理得HG∥AC，HG=12AC，HE∥BD，HE=12BD，根据矩形的性质及平行线的性质推出AC⊥BD，由矩形的周长推出AC+BD=20，最后根据S四边形ABCD=S△ABC+S13．【答案】1【解析】【解答】解：随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点数可能为1，2，3，4，5，6，共六种，且每一种发生的可能性相同，因此朝上的点数是3的概率为16故答案为：16【分析】列举出所有等可能出现的结果数，进而求出朝上点数为3的概率．14．【答案】-1【解析】【解答】解：∵x1与x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根，

∴x故答案为：-1.【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x115．【答案】90°【解析】【解答】解：如图，连接OB、OB'，∠BOB'是旋转角，且∠BOB'=90°.

故答案为：90°.【分析】对应点B、B'与旋转中心O的连线的夹角是旋转角，从而利用方格纸的特点即可得出答案.16．【答案】12πc【解析】【解答】解：∵圆锥的高为23cm，底面半径为2cm，∴圆锥的母线长为：22+(底面周长是：2×2π＝4π（cm），则侧面积是：12×4π×4＝8π（cm2底面积是：π×22＝4π（cm2），则全面积是：8π+4π＝12π（cm2）故答案为：12πcm2．【分析】本题考查圆锥的侧面积和底面积.先利用勾股定理求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可求出侧面积，利用圆锥的底面积公式可求出圆锥的底面积，进而求出答案.17．【答案】①③【解析】【解答】解：抛物线y=x2+2x-3=(x+1)2-4，

∵a=1＞0，

∴该抛物线开口向上，故①正确；

其图象的对称轴是直线x=-1，故②错误；

当x<-1，y随x的增大而减小，故③正确；

令y=x2+2x-3中的y=0，得x2+2x-3=0，

解得x1=-3，x2=1，

∴抛物线与x轴的交点为(-3，0)和(1，0)，

∵抛物线开口向上，

∴当x<-3或x>1时，y>0，故④错误，

综上，正确的有①③.故答案为：①③.【分析】将题干所给抛物线的解析式配成顶点式，由二次项系数a=1＞0，可得该抛物线开口向上，据此可判断①；由顶点式可得对称轴直线为x=-1，据此可判断②；由于抛物线开口向上，对称轴直线为x=-1，故当x<-1，y随x的增大而减小，当x＞-1，y随x的增大而增大，据此可判断③；令y=x2+2x-3中的y=0，算出对应的自变量的值，从而得出抛物线与x轴的交点为(-3，0)和(1，0)，找出x轴上方部分自变量的取值范围即可判断④.18．【答案】5【解析】【解答】解：设点C(m，1m)，则点A(m，km)，B(km，1m)，

∴AC=k-1m，BC=(k-1)m，

∵S△ABC=12AC·BC=12·k-1m·k-1故答案为：5.【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点设点C(m，1m)，根据点的坐标与图形的性质得A(m，km)，B(km，19．【答案】解：原方程变形为(x−1)(x+5)=0∴x1=−5，【解析】【分析】注意用十字相乘法进行因式分解20．【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求；（2）解：∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE=6，AC=DF=5，BC=EF=4，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=6+5+4=15；答：△DEF的周长为15．【解析】【分析】（1）连接任意两对对应点，其交点就是对称中心；

（2）根据中心对称的性质可得AB=DE=6，AC=DF=5，BC=EF=4，最后根据三角形周长计算方法计算可得答案.21．【答案】（1）1（2）解：如图，画树状图如下：所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：316【解析】【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为：14；

故答案为：14；

【分析】（1）根据概率公式，用袋子中小球的总个数除以袋子中编号为2的小球的个数即可求出答案；22．【答案】（1）解：把A(m，3)代入得：3=1解得：m=2，∴A(2把A(2，3)代入y=k解得：k=6，则双曲线表达式为y=（2）解：直线y=12x+2【解析】【分析】（1）把点A(m，3)代入y=12x+2可求出m的值，从而得到点A(2，3)，再将点A的坐标代入y=23．【答案】（1）解：如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：64a+8＝6，解得：a＝﹣132∴抛物线的解析式为y＝﹣132x2（2）解：根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣132x2得y＝7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．【解析】【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+8，再把B（﹣8，6）代入，求出a的值即可；

（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．24．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ACD=∠ECB，∴∠ECB=∠ADC，∵EB=DB，∴∠E=∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°−(∠E+∠ECB)=90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线（2）解：设⊙O的半径为r，∵OC=3，∴AC=AD=AO+OC=3+r，∵BE=6，∴BD=BE=6，在Rt△ABD中，BD∴36+(r+3)∴r1=5，∴⊙O半径的长为5【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°得∠BDE+∠ADC=90°，由等边对等角及对顶角相等得∠ECB=∠ADC，∠E=∠BDE，从而由等量代换得∠E+∠BDE=90°，从而由三角形的内角和定理得∠EBC=90°，根据切线的判定定理得结论；

（2）设圆O的半径为r，由线段的和差及等量代换得AD=3+r，在Rt△ABD中，由勾股定理建立方程可求出r的值，此题得解.25．【答案】（1）1；(0（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，∴抛物线的顶点坐标为(1，把(1，0)代入得0=a×1解得：