安徽省阜阳市阜阳第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

阜阳一中2024—2025学年高二年级（上）月考试卷说明：1．考试时间：120分钟试卷满分：150分考试时间：2024．112．答题前请把答题卷上的所有信息填写完整，并把所有答案填写在答题卷上.一、选择题Ⅰ（本大题共8题，每题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．不存在2．已知圆关于直线对称，则（

）A． B．1 C． D．03．已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．如图，在正方体中，为的中点，则（

）A． B． C． D．5．从点向圆引两条切线，，切点分别为，，且四边形的面积为2，则不满足条件的点所在区域的面积为（

）A． B． C． D．6．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，在三棱锥中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．现有如下命题：①右支上存在点满足为等腰三角形，，且；②右支上不存在点满足为等腰三角形，，且．那么下列判断正确的是（

）A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题二、选择题Ⅱ（本大题共3题，每题6分，共计18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9．已知直线，圆，则（

）A．不过定点 B．与相交C．圆心到的距离的最大值为1 D．是的一个方向向量10．如图，在四棱锥，平面，底面是平行四边形，与交于点，则（

）A．B．C．点到的距离为D．11．已知曲线，其中，则（

）A．曲线关于原点对称B．曲线上存在横坐标大于1的点C．若，曲线与轴围成的面积大于D．三、填空题（本大题共3题，每题5分，共计15分.）12．将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是．13．空间中，，，，，且平面，则．14．已知曲线与圆交于，，，四个点，且四边形的面积为4，则圆的面积为．四、解答题（本大题共5题，共计77分.）15．已知向量，，，且．(1)求；(2)若向量与垂直，求．16．已知直线，，，．(1)证明：与的交点不在轴上；(2)已知与交于点，，分别与轴交于，点，记的面积为，求的取值范围．17．已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线．(1)求曲线的方程；(2)记到的距离为，到的距离为，证明：为定值．18．如图，多面体中，四边形为等腰梯形，四边形为矩形，为上一点，且，．

(1)证明：平面平面；(2)若二面角为直二面角，当三棱锥的体积最大时，求：①多面体的体积；②平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．如图，已知抛物线，直线依次与，轴交于点，直线依次与，轴交于点，其中，．(1)若，且，求；(2)若，点关于轴的对称点为，证明：①；②．

答案1．A解析：由且，易知斜率为1，直线倾斜角为.故选：A2．B解析：由题意直线过圆心，则.故选：B3．A解析：由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为，所以.故选：A4．C解析：由题设，易知，且，.故选：C5．B解析：由题设，易知，，且，所以，即，当且仅当时等号成立，所以满足条件的点所在区域以为圆心，半径范围为，则不满足条件点所在区域以为圆心，半径范围为，故面积为.故选：B6．B解析：由题设，令，联立抛物线得，显然，所以，，则，所以，可得，又，故线段中点的横坐标为4.故选：B7．B解析：若分别是中点，连接，若，则，可得，所以，即，所以，即，所以，充分性成立；若，则，所以，即，必要性成立，故选：B8．D解析：若，且，设，则，由，则，此时为双曲线的右顶点，即重合，与为等腰三角形矛盾，①为假命题；若，则，又，即，则，此时，结合双曲线的性质知重合，与为等腰三角形矛盾，②为假命题；

故选：D9．BC解析：由过定点，圆心，半径为，而，即在圆内，A错，B对，如下图，当时，圆心到的距离的最大值为1，C对；由，故是的一个方向向量，显然不与向量平行，所以不是的一个方向向量，错.故选：BC10．ABD解析：A：由题意有，所以，对；B：，由平面，平面，则，，所以，对；C：由，则，所以点到的距离为，错；D：由，由，则，对.故选：ABD11．ACD解析：A：曲线任取一点，其关于原点对称的点，代入曲线，得，即，所以曲线关于原点对称，对；B：由对称性，只需研究部分曲线，此时，所以，对应关于的二次函数开口向上，对称轴，若存在横坐标大于1的点，即方程在上有解，所以，即，与矛盾，错；D：结合对称性，只需研究部分，且，当时，或，所以为与曲线交点纵坐标，是与曲线交点纵坐标，联立与曲线，得，即，将代入左侧，得，即；联立与曲线，得，即，将代入左侧，得，即，综上，，对；C：由对称性，只需研究且的曲线部分，其上界满足，当时，当时，所以，而，显然，对于圆，其面积为，上界高于曲线的上界，下界高于曲线的下界，且，上述圆与已知曲线均过，即它们的左右边界重合，易知该部分曲线围成的图形面积大于，对；故选：ACD12．解析：因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为.将其顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率为：.所以所求直线方程为：即.故答案为：13．解析：因为，，，，，，所以；设平面的一个法向量为，则，令，可得，可得法向量，由平面可得，即可得，经检验均满足题意.故答案为：.14．解析：由，即为过一、三象限的双曲线，如下图示，根据对称性，、分别关于原点对称，且四边形为矩形，不妨令且，则，则，故，所以，又，所以，即，所以，若（负值舍），此时，则，圆的面积为；若（负值舍），此时，则，圆的面积为；综上，圆的面积为.故答案为：15．(1)；(2).解析：（1）由，即，所以，整理得；（2）由，又向量与垂直，所以，所以.16．(1)证明见解析；(2).解析：（1）联立，可得，又，，所以，即与的交点不在轴上；（2）由（1）知，，由，令，有，由，令，可得，则，所以，故，令，则，对于，当且仅当，即时取等，所以，故，则.所以.17．(1)且；(2)证明见解析；解析：（1）由题设，则，所以所求曲线方程为且.（2）由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在，如下图，不妨设，且，则到的距离为，到的距离为，令且，则，故，所以，则，综上，，为定值.18．(1)证明见解析(2)①；②解析：（1）

取中点为，连接，因为，．所以，，又因为四边形为等腰梯形，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以三角形为等腰三角形，又因为，，为中点，所以，又因为四边形为等腰梯形，所以，所以又因为四边形为矩形，所以，又因为，面，所以面，又因为面，所以平面平面（2）①过点作与交于点，连接，由（1）知，面，面，所以，又因为，所以，又因为四边形为矩形，所以，所以为二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的体积最大时，，所以多面体的体积.②取中点为，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，所以，则，，，设面的法向量为m=x则，令，则，则，设面的法向量为n=x则，令，则，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19．(1)2(2)①证明见解析；②证明见解析解析：（1）由直线，直线，可知，如图，设两平行线之间的距离为，则点到边的距离与点到边的距离都等于