广东省深圳市坪山区中山中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）

坪山区中山中学2022−2023学年第一学期九年级10月月考数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂的运算法则、乘方公式及二次根式的运算法则即可判断．【详解】A.，故错误；B.，故错误；C.，正确；D不能计算，故错误；故选C．【点睛】此题主要考查幂、整式运算与二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2.若3x＝5y（y≠0），则下列各式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】比例基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．【详解】解：A、，可以化成：xy＝15，故此选项错误；B、，可以化成：xy＝15，故此选项错误；C、，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；D、，可以化成：3x＝5y，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．3.据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A.268×103 B.26.8×104 C.2.68×105 D.0.268×106【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大数的形式为（其中，n为正整数），只要确定a,n即可.【详解】用科学记数法表示较大数的形式为，其中，所以，万=，有6位，所以，所以26.8万用科学记数法表示为故选C【点睛】本题主要考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键.4.一元二次方程的根的情况为（）A.只有一个实数根 B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根 D.没有实数根【答案】B【解析】【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵a=1，b=-2，c=-1，∴，所以原方程有两个不相等的实数．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5.下列命题中正确的是（）A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】B【解析】【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A.10.8（1+x）=16.8 B.16.8（1﹣x）=10.8C.10.8（1+x）2=16.8 D.10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8【答案】C【解析】【详解】试题分析：设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程10.8（1+x）2=16.8，故选C．考点：由实际问题抽象出一元二次方程7.下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，2，，所以三边之比为1：2：．A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．8.如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：，，即，，，故选．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）A.BP是∠ABC的平分线 B.＝1：C.AD＝BD D.CD＝BD【答案】B【解析】【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD=30°=∠A，则可对C选项进行判断；利用∠CBD=∠ABC=30°得到BD=2CD，则可对D选项进行判断；由于AD=2CD，则可根据三角形面积公式对B选项进行判断．【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项结论正确；∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以C选项的结论正确；∵∠CBD＝∠ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；∴AD＝2CD，∴，所以B选项的结论错误．故选：B．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，以及三角形的面积等知识，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解答本题的关键．10.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④当AG＝6，EG＝2时，BE的长为，其中正确的编号组合是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．【详解】解：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG．∴GD＝DF．故①正确；∴DG＝GE＝DF＝EF．∴四边形EFDG为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴＝，即DF2＝FO•AF．∵FO＝GF，DF＝EG，∴EG2＝GF•AF．故③正确；如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2，∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．∵DF＝GE＝2，AF＝10，∴AD＝＝4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴＝，即=，∴GH＝，∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．二、填空题（每题3分，共15分）11.分解因式：=____.【答案】【解析】【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．【详解】．故答案为：12.若一元二次方程有一根为，则______．【答案】2020【解析】【分析】直接把代入一元二次方程中即可得到的值．【详解】解：∵一元二次方程有一根为，，，故答案为：2020．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；明确一元二次方程的解的定义是解题关键．13.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，E是AC的中点．若DE＝5，则AC的长为_______．【答案】10【解析】【分析】先证明AD⊥BC，△ADC是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案．【详解】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，△ADC是直角三角形，∵点E是AC中点，∴AC＝2DE＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练的运用等腰三角形的性质得到直角三角形是解本题的关键．14.固定一种运算：=，例如：=8，运算得：，解得，按照这种运算得规定，求中x的值为____【答案】，．【解析】【分析】弄清题中规定的运算即可转化为一元二次方程，解一元二次方程即可．【详解】根据题意得：，∴，∴，∴，．故答案为，．【点睛】本题是新定义问题，考查了用因式分解法解一元二次方程，关键明确新定义中规定的运算．15.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为_____．【答案】9【解析】【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB，求出∠BOF=∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM=OF，OM=FB，求出四边形ACFM为矩形，推出AM=CF，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF，即可求出答案．【详解】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四边形ACFM是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.三、解答题（共55分）16.解方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（4）方程左右同除以3，再利用直接开平方法求解即可；（5）运用公式法求解即可；（6）运用提公因式法进行因式分解，再进一步求解即可．【小问1详解】方程整理得：，开方得：x+1＝2或x+1＝−2，解得：；【小问2详解】∵a=2，b=-4，c=-1，∴，∴x=；【小问3详解】分解因式得：（x−3）（x−3+2x）＝0，∴x−3＝0或x−3+2x＝0，解得：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17.在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：（1）在网格内画出关于y轴对称的图形；（2）平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2），或．【解析】【分析】（1）先找到A、B、C点关于y轴的对称点，顺次连接即可；（2）将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点．【小问1详解】如图所示：【小问2详解】∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点．所以，点D的坐标为：，或．【点睛】本题考查画轴对称图形，平行四边形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．18.先化简，再将代入求值.【答案】1.【解析】【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．【详解】原式将代入得：【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．19.某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）九年级接受调查的同学共有多少名，并补全条形统计图；（2）九年级共有600名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名；（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率．【答案】（1）50，统计图见解析（2）144（3）【解析】【分析】(1)利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求出接受调查的总人数，再求出听音乐的人数即可补全条形统计图；(2)用样本中“听音乐减压”人数占被调查人数的比例乘以总人数500即可得．(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】九年级接受调查的同学总数为人，则“听音乐”的人数为人，补全图形如下：【小问2详解】估计该校九年级听音乐减压的学生约有人．【小问3详解】画树状图得：共有20种等可能的结果，选出同学是都是女生的有2种情况，选取的两名同学都是女生的概率为．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，根据树状图求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF．（1）求证：四边形BDCF菱形；（2）若CE=4，AC=6，求四边形BDCF的面积．【答案】（1）见解析（2）24【解析】【分析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF=AD=BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD=BD，根据菱形的判定得出即可；（2）由菱形的性质和平行四边形的性质可得DF=AC=6，BC=8，即可求四边形BDCF的面积．【小问1详解】证明：∵DE⊥BC，∠ACB=90°，∴∠BED=∠ACB，∴DFAC，∵CFAB，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AD=CF，∵D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，∵BDCF，∴四边形BDCF是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴DC=BD，∴四边形BDCF是菱形；【小问2详解】解：∵四边形BDCF是菱形，∴BC=2CE=8，BC⊥DF，∵四边形ADFC是平行四边形，∴DF=AC=6，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．21.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱.（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由.【答案】（1）1440元；（2）每箱应降价5元；（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据每箱饮料每降价1元，每天可多售出20箱写出答案即可；（2）、（3）利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可．【详解】解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元；（1）依题意得：（12-3）（100+20×3）=1440（元）答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；（2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，（12-x）（100+20x）=1400，整理得x2-7x-10=0，解得x1=2，x2=5；为了多销售，增加利润，∴x=5，答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元．（3）不能，理由如下：要使每天销售饮料获利1500元