第22章 相似形 单元测试 沪科版九年级数学上册

第22章学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是()A.eq\f(x,y)＝eq\f(3,2) B.eq\f(x,3)＝eq\f(2,y) C.eq\f(x,y)＝eq\f(2,3) D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)2．下列四组线段中，成比例的是()A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝3，b＝6，c＝9，d＝18C．a＝1，b＝3，c＝2，d＝8 D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝63．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为()A．3 B．4 C．5 D．6(第3题)(第5题)(第6题)4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则线段AP的长为()A.eq\r(5)＋1 B.eq\r(5)－1 C.eq\f(\r(5)＋1,2) D.eq\f(\r(5)－1,2)5．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是()A．∠ADC＝∠ACB B.eq\f(AB,BC)＝eq\f(AC,CD)C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD·AB6．如图，在△ABC中，AB∥DE，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(2,3)，则△ECD与△ACB的面积之比为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(9,25) C.eq\f(4,5) D.eq\f(16,25)7．如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为()A．±eq\r(6)m B.eq\r(6)m C．6m D.eq\r(5)m(第7题)(第9题)(第10题)8．若一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，就把这样的三角形称为和谐三角形，则下列选项中属于和谐三角形的是()A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC,E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD，连接DE交对角线AC于点H，连接BH.下列结论错误的是()A．HE＝2BE B．AC⊥DEC．∠CED＝60° D．S△ADE＝2S△BCE10．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是()A.eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(6),2) C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(8,5)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝8，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是________．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)，已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的eq\f(1,4)，则点B′的坐标是________________．(第12题)(第13题)13．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为______．14.四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：(第14题)(1)如图①，当F恰好为BD的中点时，AE＝________；(2)如图②，当点C，E，F在同一条直线上时，AE＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．已知eq\f(x＋y,x)＝eq\f(3,2).(1)求eq\f(y,x)的值；(2)求eq\f(x－y,x＋y)的值．16．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.(第16题)(1)求AC的长；(2)若OE：OF＝1：3，求OBAB.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位，△ABC的顶点都在格点上．(第17题)(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；(2)已知△ABC的面积为eq\f(7,2)，则△A1B1C1的面积为______．

18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线．求证：AD2＝AC·DC.(第18题)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)若AB＝2eq\r(3)，AD＝4，求CE的长．(第19题)20．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6eq\r(5)，BC＝6，CE＝3.(1)求CD的长；(2)求证：△CDE∽△BDC.(第20题)六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE，且∠B＝∠ADE＝∠C.(1)求证：△BDA∽△CED；(2)若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动(点D不与B，C重合)，且当△ADE是等腰三角形时，求BD的长．(第21题)七、(本题满分12分)22．如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图，如图①，道闸关闭时，四边形ABCD是矩形，如图②，在道闸打开的过程中，边AD固定，AD⊥直线l，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行，P为CD上的一点(不与点C，D重台)，过点P作PE⊥直线l，PF⊥MN，垂足分别为E，F，即四边形PENF是矩形，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，延长BC与PF相交于点R.(1)△PDQ与△CPR相似吗？请判断并说明理由；(2)如图②，若道闸长AB＝4米，宽AD＝1米，点D距地面0.2米，PE＝1.16米，RF＝0.8米，CR＝1.44米．①求点B到地面l的距离；②直接写出PF的长．(第22题)八、(本题满分14分)23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，F，E是AC上两点，连接BE，DF交于△ABC内一点G，且∠EGF＝45°.(1)求证：∠FDC＝∠AEB；(2)如图①，若AE＝3CE＝6，求BG的长；(3)如图②，若F为AC上任意一点，连接AG，求证：∠EAG＝∠ABE.(第23题)

答案一、1.A2.B3.B4.B5.B6.B7.B8.C9．A10．A【点拨】∵△DAB∽△DCA，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(CD,AD)，∴eq\f(6,BD)＝eq\f(5＋BD,6).解得BD＝4(负值舍去)．∴eq\f(AC,BA)＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(9,6)＝eq\f(3,2)，∴AC＝eq\f(3,2)AB.∵AC2＝AB(AB＋BC)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)AB))eq\s\up12(2)＝AB(AB＋BC)，解得AB＝4，AB＝0(舍去)，∴AB＝BD＝4.过点B作BH⊥AD于点H.∴AH＝eq\f(1,2)AD＝3，∴BH＝eq\r(AB2－AH2)＝eq\r(7).∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2.当PQ⊥AB时，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(PQ,BH)，∴eq\f(2,4)＝eq\f(PQ,\r(7))，∴PQ＝eq\f(\r(7),2).二、11.4312．(3，2)或(－3，－2)13.eq\f(24,7)或eq\f(48,13)【点拨】∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝FE.∵BC＝8，∴CE＝8－BE.当△CEF与△ABC相似时，eq\f(CE,CB)＝eq\f(EF,BA)或eq\f(CE,CA)＝eq\f(EF,AB)，即eq\f(8－BE,8)＝eq\f(BE,6)或eq\f(8－BE,7)＝eq\f(BE,6)，解得BE＝eq\f(24,7)或eq\f(48,13).14．(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(\r(5)－1,2)【点拨】(1)当F恰好为BD的中点时，由折叠的性质得EF⊥BD，∴EB＝ED＝1，∴∠EBD＝∠EDB.由折叠的性质得∠ABE＝∠EBD.∴∠ABE＝∠EBD＝∠ADB.又∵∠ABE＋∠DBE＋∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADB＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2).(2)当点C，E，F在同一直线上时，根据折叠的性质可知BF＝BA＝CD，∠A＝∠BFC＝∠CDE＝90°.∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠CED，∴△BFC≌△CDE，∴FC＝DE＝1.设AE＝x，可得EF＝x.∵∠DEF＝∠CED，∠EFD＝∠EDC，∴△DEF∽△CED，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(CE,ED)，∴DE2＝EF·EC，∴12＝x(x＋1)，解得x1＝eq\f(－1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(－1－\r(5),2)(舍去负值)，∴AE＝eq\f(－1＋\r(5),2).三、15.解：∵eq\f(x＋y,x)＝eq\f(3,2)，∴x＝2y.(1)eq\f(y,x)＝eq\f(y,2y)＝eq\f(1,2).(2)eq\f(x－y,x＋y)＝eq\f(2y－y,2y＋y)＝eq\f(1,3).16．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴DE：DF＝AB：AC，即3：(3＋6)＝4：AC，解得AC＝12.(2)∵l2∥l3，∴△OBE∽△OCF，∴BE：CF＝OB：OC＝OE：OF＝1：3，∴OC＝3OB.∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，即OC＋OB＝8，∴4OB＝8，∴OB＝2，∴OB：AB＝2：4＝1：2.四、17.解：(1)略(2)1418．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴BD＝AD，∠C＝∠BDC，∴∠ABC＝∠BDC，BC＝BD＝AD，∴△BCD∽△ACB.∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(AC,CB)，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(AC,AD)，∴AD2＝AC·DC.五、19.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝90°.由折叠易得∠AFE＝90°，∴∠EFC＋∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFE，∴△ABF∽△FCE.(2)解：在矩形ABCD中，易得BC＝AD＝AF＝4.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝2，∴CF＝BC－BF＝2.∵△ABF∽△FCE，∴eq\f(AB,FC)＝eq\f(BF,CE)，即eq\f(2\r(3),2)＝eq\f(2,CE).解得CE＝eq\f(2\r(3),3).20．(1)解：∵∠ACB＝90°，AB＝6eq\r(5)，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12.∴AE＝AC－CE＝9.∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE.∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(CE,AE)，∴CD＝eq\f(AB·CE,AE)＝eq\f(6\r(5)×3,9)＝2eq\r(5).(2)证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，∴BE＝eq\r(CE2＋BC2)＝3eq\r(5).∵△CDE∽△ABE，∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，∴DE＝eq\r(5)，∴BD＝4eq\r(5).∵eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(1,2)，∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC.六、21.(1)证明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－∠ADB－∠ADE.∵∠CDE＝180°－∠ADB－∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED.(2)解：由题易知∠BAC＝90°.当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED.∵∠ADE＝∠B＝45°，∴∠AED＝45°.∴∠DAE＝90°.∴点D与点B重合，不合题意，舍去．当EA＝ED时，∠EAD＝∠EDA＝∠B＝45°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3.当DA＝DE时，∵∠EDA＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴DA：CA＝DE：CD，∴AC＝DC.∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝6，∴AC＝3eq\r(2).∴DC＝3eq\r(2).∴BD＝BC－DC＝6－3eq\r(2).综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为3或6－3eq\r(2).七、22.解：(1)相似．理由：∵四边形PENF是矩形，∴PF∥l，PE∥MN.∵DQ⊥PQ，∴DQ∥PF，∴∠CPR＝∠PDQ.∵AD⊥l，AD∥BC，PF∥l，∴BR⊥PF，∴∠CRP＝∠PQD＝90°，∴△PDQ∽△CPR.(2)①延长CR交直线l于点G，则点B到地面l的距离即为线段BC＋CR＋RG的长，如图．∵四边形PENF是矩形，∴PE⊥l，PF∥l，PE⊥PF.∵AD∥BC，AD⊥l，∴BC⊥l，∴BG⊥l，∴四边形PEGR是矩形，∴RG＝PE.∵PE＝1.16米，CR＝1.44米，BC＝AD＝1米，∴BG＝BC＋CR＋RG＝BC＋CR＋PE＝1＋1.44＋1.16＝3.6(米)．故点B到地面l的距离为3.6米．②PF的长为2.72米．【点拨】∵道闸长AB＝4米，设PC＝x米，则DP＝(4－x)米，由(1)知△PDQ∽△CPR，∴eq\f(CR,PQ)＝eq\f(PC,DP).∵点D距地面0.2米，PE＝1.16米，CR＝1.44米，∴PQ＝PE－QE＝1.16－0.2＝0.96(米)，∴eq\f(1.44,0.96)＝eq\f(x,4－x)，解得x＝2.4，在Rt△CPR中，CR＝1.44米，P